Esercizio 154integrali impropri tra 0 e +∞ con arcotangente e tangente iperbolica

Testo (Lezione 44, esercizio 11 del foglio di ricapitolazione). Discutere per $a \in \mathbb{R}$ la convergenza degli integrali $$(a) \ \int_0^{+\infty}\frac{\arctan(x^a)}{\sqrt x\,(x + 3)}\,dx, \qquad (b) \ \int_0^{+\infty}\frac{\tanh(x^a)}{x(x + 9)}\,dx.$$ Calcolarli per $a = 0$.

Entrambi sono impropri in $0^+$ e a $+\infty$: si spezza in $1$, $I = \int_0^1 + \int_1^{+\infty} = I_1 + I_2$, e $I$ converge se e solo se convergono entrambi. Ricordare le soglie diverse (vedi Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →): $\frac{1}{x^\alpha}$ è integrabile vicino a $0$ se $\alpha < 1$, a $+\infty$ se $\alpha > 1$.

(a)

$f(x) = \frac{\arctan(x^a)}{\sqrt x\,(x + 3)}$ è positiva e continua su $]0, +\infty[$.

$I_1$ ($x \to 0^+$)

Numeratore (dipende dal segno di $a$):

• $a < 0$: $x^a \to +\infty$, quindi $\arctan(x^a) \to \frac\pi2$;
• $a = 0$: $\arctan 1 = \frac\pi4$;
• $a > 0$: $y = x^a \to 0^+$ e $\arctan y \sim y$, quindi $\arctan(x^a) \sim x^a$.

Denominatore: $x^{1/2}(x + 3) \sim 3x^{1/2}$ (perché $x + 3 \to 3$).

$$f(x) \sim \begin{cases} \frac\pi6\cdot\frac{1}{x^{1/2}} & a < 0 \\ \frac{\pi}{12}\cdot\frac{1}{x^{1/2}} & a = 0 \\ \frac13\cdot\frac{1}{x^{1/2 - a}} & a > 0 \end{cases}$$ Nei primi due casi l'esponente è $\frac12 < 1$: converge. Nel terzo l'esponente $\frac12 - a$ è $< \frac12 < 1$: converge. $I_1$ converge per ogni $a$.

$I_2$ ($x \to +\infty$)

Numeratore: $a < 0$: $x^a \to 0$ e $\arctan(x^a) \sim x^a$; $a = 0$: $\frac\pi4$; $a > 0$: $x^a \to +\infty$ e $\arctan(x^a) \to \frac\pi2$.

Denominatore: $x^{1/2}\cdot x = x^{3/2}$.

$$f(x) \sim \begin{cases} \frac{1}{x^{3/2 - a}} & a < 0 \ (\text{esponente} > \frac32 > 1) \\ \frac\pi4\cdot\frac{1}{x^{3/2}} & a = 0 \\ \frac\pi2\cdot\frac{1}{x^{3/2}} & a > 0 \end{cases}$$ In tutti i casi l'esponente è $> 1$: $I_2$ converge per ogni $a$.

Conclusione: l'integrale (a) converge per ogni $a \in \mathbb{R}$.

Calcolo per $a = 0$

$$I = \frac\pi4\int_0^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt x\,(x + 3)}$$ Primitiva. Con $y = \sqrt x$, $x = y^2$, $dx = 2y\,dy$: $$\int\frac{2y\,dy}{y\,(y^2 + 3)} = 2\int\frac{dy}{y^2 + (\sqrt3)^2} = \frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{y}{\sqrt3} + k = \frac{2}{\sqrt3}\arctan\sqrt{\frac x3} + k$$ Limiti. L'integrale è improprio in entrambi gli estremi, ma la primitiva è continua in $0$ (vale $0$ lì) e tende a $\frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac\pi2$ a $+\infty$: $$I = \frac\pi4\left[\frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac\pi2 - 0\right] = \frac{\pi^2}{4\sqrt3} \approx 1{,}425$$ (controllato con un'integrazione numerica in Python).

(b)

$f(x) = \frac{\tanh(x^a)}{x(x + 9)}$ è positiva e continua su $]0, +\infty[$.

$I_1$ ($x \to 0^+$)

Numeratore: $a < 0$: $x^a \to +\infty$ e $\tanh(x^a) \to 1$; $a = 0$: $\tanh 1$; $a > 0$: $x^a \to 0$ e $\tanh(x^a) \sim x^a$.

Denominatore: $x(x + 9) \sim 9x$.

$$f(x) \sim \begin{cases} \frac19\cdot\frac1x & a < 0 \\ \frac{\tanh 1}{9}\cdot\frac1x & a = 0 \\ \frac19\cdot\frac{1}{x^{1 - a}} & a > 0 \end{cases}$$ Nei primi due casi l'esponente è $1$, non $< 1$: diverge. Nel terzo l'esponente $1 - a < 1$: converge. $I_1$ converge se e solo se $a > 0$.

$I_2$ ($x \to +\infty$)

Basta considerare $a > 0$ (per gli altri valori l'integrale diverge già per colpa di $I_1$). Allora $\tanh(x^a) \to 1$ e $x(x + 9) \sim x^2$: $f \sim \frac{1}{x^2}$, esponente $2 > 1$: converge.

Conclusione: l'integrale (b) converge se e solo se $a > 0$. Per $a = 0$ vale $+\infty$ (diverge, per colpa dell'estremo $0$), quindi non c'è niente da calcolare.

Errori comuni

• Studiare un solo estremo: qui sono impropri in $0$ e a $+\infty$.
• In (b), usare la soglia di $+\infty$ vicino a $0$: $\frac1x$ diverge vicino a $0$ (serve esponente $< 1$).