Lezione 38Primitive, teoremi fondamentali e sostituzione

Data: mercoledì 3 dicembre 2025 · Videolezione: n. 39 della playlist ("Lezione 38")

Argomenti trattati

1. Primitive (par. 4 e 9): definizione, esempio di $x^2$; Proposizione 1 (due primitive differiscono per una costante) con dimostrazione; integrale indefinito come insieme delle primitive; differenza tra integrale definito e indefinito.
2. Funzione integrale $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, esempio $f = 4$; TFCI 2 (la funzione integrale è una primitiva) e TFCI 1 ($\int_a^b f = G(b) - G(a)$), entrambi con dimostrazione; esempio $\int_1^3 x^2\,dx = \frac{26}{3}$.
3. Integrali immediati (Tabella 1), ricavati dalle derivate; per gli integrali non ci sono regole ma metodi: linearità, sostituzione, per parti.
4. Formula di integrazione per sostituzione (par. 5), anche al contrario e per gli integrali definiti, con dimostrazione; esercizi 1-6 del foglio 3-5 dicembre; Tabella 2 degli integrali immediati per sostituzione.

Teoria

• Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →
• Integrali immediatiTabella degli integrali immediati, ottenuti leggendo al contrario le derivate delle funzioni elementari: potenze, 1/x, esponenziali, seno e coseno, tangente, arcoseno, arcotangente, funzioni iperboliche e loro inverse. Per gli integrali non ci sono regole come per le derivate, solo metodi: linearità, sostituzione, per parti.Integrali immediati →
• Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →

Esercizi

• Esercizio 130 · integrali per sostituzione con logaritmo, arcotangente e seno — esercizi 1, 2, 3 del foglio
• Esercizio 131 · tangente e altri integrali del tipo f' su f — esercizio 4
• Esercizio 132 · x³ su 1 + x⁸ e integrale definito di x e^x2 — esercizi 5 e 6