Esercizio 56limite con log(cosh x), x^log x) e arcotangente

Testo (Lezione 20, esercizio 9 del foglio delle lezioni 17-20). Calcolare

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\log(\cosh x) - \sqrt x}{\sqrt{x + 1} - x^{\log x} - 3\arctan(x^x)}$$

Teoria: Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →.

Passo 1: il numeratore

La trappola

$\log(\cosh x)$ "sembra" un logaritmo, e i logaritmi sono trascurabili rispetto alle potenze: verrebbe da scrivere $\log(\cosh x) = o(x^{1/2})$. È sbagliato (la prof lo segna come errore): dentro il logaritmo c'è $\cosh x$, che cresce come un esponenziale, e il logaritmo di un esponenziale è una potenza.

Il calcolo giusto

Si scrive $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ e si raccoglie, dentro il logaritmo, il termine più grande, $e^x$:

$$\log(\cosh x) = \log\left(e^x\left(\frac12 + \frac12 e^{-2x}\right)\right) = \log(e^x) + \log\left(\frac12 + \frac12 e^{-2x}\right) = x + \log\left(\frac12 + \frac12 e^{-2x}\right)$$

(si è usato $\frac{e^{-x}}{e^x} = e^{-2x}$, poi $\log(AB) = \log A + \log B$ e $\log(e^x) = x$). Il secondo addendo tende a $\log\frac12$, un numero, quindi è trascurabile rispetto a $x \to +\infty$: $\log(\cosh x) = x + o(x) \sim x$.

Inoltre $\sqrt x = x^{1/2} = o(x)$ per la gerarchia (potenza con esponente minore). In totale:

$$\text{NUM} = x + o(x) \sim x$$

Passo 2: il denominatore

Tre pezzi:

• $\sqrt{x + 1} \sim \sqrt x = x^{1/2}$ (le potenze conservano l'asintoticità, e $x + 1 \sim x$);
• $x^{\log x}$: base ed esponente variabili, quindi forma esponenziale: $x^{\log x} = e^{\log x \cdot \log x} = e^{\log^2 x}$;
• $3\arctan(x^x)$: l'arcotangente è limitata ($|\arctan t| < \frac{\pi}{2}$); anzi $x^x \to +\infty$ e quindi $3\arctan(x^x) \to \frac32\pi$. Comunque è trascurabile rispetto a qualunque cosa che tende a $\infty$.

Confronto tra $x^{1/2}$ e $x^{\log x}$

Anche $x^{1/2}$ si scrive in forma esponenziale, $x^{1/2} = e^{\frac12\log x}$:

$$\frac{x^{1/2}}{x^{\log x}} = \frac{e^{\frac12\log x}}{e^{\log^2 x}} = e^{\frac12\log x - \log^2 x}$$

L'esponente: raccogliendo il termine più grande $\log^2 x$,

$$\frac12\log x - \log^2 x = -\log^2 x\left(1 - \frac{1}{2\log x}\right) \to (-\infty) \cdot 1 = -\infty$$

quindi il rapporto tende a $e^{-\infty} = 0$: $x^{1/2} = o(x^{\log x})$. Ha senso: $x^{\log x}$ è una potenza di $x$ con esponente $\log x$ che cresce, e prima o poi supera qualunque esponente fisso.

Quindi

$$\text{DEN} = -x^{\log x} + o(x^{\log x}) \sim -x^{\log x} = -e^{\log^2 x}$$

Passo 3: conclusione

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{-x^{\log x}} = -\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\log x}}{e^{\log^2 x}} = -\lim_{x \to +\infty} e^{\log x - \log^2 x} = -e^{-\infty} = 0$$

(scritto $x = e^{\log x}$; l'esponente $\log x - \log^2 x \to -\infty$ come prima). Più precisamente il limite è $0^-$, perché il denominatore è negativo per $x$ grande.

Verifica numerica. $x = 10$: $\approx -0{,}030$; $x = 30$: $\approx -0{,}00023$; $x = 100$: $\approx -5{,}5 \cdot 10^{-8}$ ✓.

Il metodo da ricordare

• Il logaritmo di qualcosa che cresce come un esponenziale si comporta come una potenza: $\log(\cosh x) \sim x$, $\log(e^x + x^5) \sim x$. Si raccoglie il termine più grande dentro il logaritmo.
• Per confrontare espressioni come $x^{\log x}$, $x^{1/2}$, $x$: si scrive tutto come $e^{(\dots)}$ e si confrontano gli esponenti.

Errori comuni

• $\log(\cosh x) = o(\sqrt x)$ "perché è un logaritmo": falso, è $\sim x$.
• Dimenticare che l'arcotangente è limitata: $3\arctan(x^x)$ non va all'infinito.
• Mettere $x^{\log x}$ nella gerarchia come "potenza": non ha esponente fisso, cresce più di ogni potenza $x^\alpha$.