Esercizio 59limiti in -1 con e¹/(x+1)) e log⁵ del modulo

Testo (Lezione 21, esercizio 2 del foglio delle lezioni 20-24). Calcolare

$$\lim_{x \to -1^-} e^{\frac{1}{x+1}}\log^5|x + 1| \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to -1^+} e^{\frac{1}{x+1}}\log^5|x + 1|$$

(il secondo era "per casa").

Teoria: Limite di funzioni composte (cambio di variabile)Se g(x) → y0 e f(y) → ℓ per y → y0, allora f(g(x)) → ℓ, purché g(x) ≠ y0 vicino a x0 (ipotesi inutile se y0 = ±∞ o f è continua in y0): si sostituisce y = g(x).Limite di funzioni composte (cambio di variabile) →.

Passo 0: dove vanno i pezzi

Tutto dipende da $x + 1$:

• per $x \to -1^-$ (da sinistra, cioè $x < -1$): $x + 1 \to 0^-$;
• per $x \to -1^+$ (da destra): $x + 1 \to 0^+$.

In entrambi i casi $|x + 1| \to 0^+$, quindi $\log|x + 1| \to -\infty$ e $\log^5|x + 1| \to (-\infty)^5 = -\infty$ (potenza dispari: il segno resta negativo).

L'esponenziale invece cambia comportamento a seconda del lato:

• $x + 1 \to 0^-$: $\frac{1}{x+1} \to -\infty$ (reciproco di $0^-$), quindi $e^{\frac{1}{x+1}} \to e^{-\infty} = 0$;
• $x + 1 \to 0^+$: $\frac{1}{x+1} \to +\infty$, quindi $e^{\frac{1}{x+1}} \to +\infty$.

1. Limite da destra ($x \to -1^+$)

$$e^{\frac{1}{x+1}}\log^5|x + 1| \to (+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty$$

Non è una forma indeterminata (algebra degli infiniti): il limite è $-\infty$.

2. Limite da sinistra ($x \to -1^-$)

Qui si ottiene $0 \cdot (-\infty)$: forma indeterminata.

Passo 1: scrivere come quoziente

Si porta l'esponenziale al denominatore con l'esponente cambiato di segno ($e^A = \frac{1}{e^{-A}}$):

$$e^{\frac{1}{x+1}}\log^5|x + 1| = \frac{\log^5|x + 1|}{e^{-\frac{1}{x+1}}}$$

Ora è una forma $\frac{-\infty}{+\infty}$: un logaritmo (alla quinta) contro un esponenziale. La gerarchia dice che vince l'esponenziale, ma la gerarchia vale per una variabile che va a $+\infty$, e qui $x \to -1$. Serve un cambio di variabile.

Passo 2: il cambio di variabile

Si pone

$$y = -\frac{1}{x + 1}$$

così l'esponenziale diventa $e^y$. Dove va $y$? Per $x \to -1^-$, $x + 1 \to 0^-$, quindi $\frac{1}{x+1} \to -\infty$ e $y \to +\infty$.

Si riscrive anche il logaritmo in funzione di $y$: da $y = -\frac{1}{x+1}$ segue $x + 1 = -\frac1y$, e poiché $y > 0$:

$$|x + 1| = \frac1y \qquad \Rightarrow \qquad \log|x + 1| = \log\frac1y = -\log y$$

(il logaritmo del reciproco è l'opposto del logaritmo). Quindi $\log^5|x + 1| = (-\log y)^5 = -\log^5 y$.

La funzione $y = -\frac{1}{x+1}$ è strettamente monotona per $x < -1$, quindi il cambio di variabile è lecito senza ipotesi aggiuntive.

Passo 3: il limite nella nuova variabile

$$\lim_{x \to -1^-} \frac{\log^5|x + 1|}{e^{-\frac{1}{x+1}}} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-\log^5 y}{e^y} = 0$$

per la gerarchia degli infiniti: $\log^5 y = o(e^y)$ per $y \to +\infty$. (Più precisamente il limite è $0^-$: numeratore negativo, denominatore positivo.)

Verifica numerica. $x = -1{,}1$: $\approx -0{,}0029$; $x = -1{,}05$: $\approx -5 \cdot 10^{-7}$; $x = -1{,}02$: $\approx -1{,}8 \cdot 10^{-19}$ ✓. Da destra invece: $x = -0{,}9$: $\approx -1{,}4 \cdot 10^6$, $x = -0{,}95$: $\approx -1{,}2 \cdot 10^{11}$ ✓.

Riepilogo

$$\lim_{x \to -1^-} e^{\frac{1}{x+1}}\log^5|x + 1| = 0, \qquad \lim_{x \to -1^+} e^{\frac{1}{x+1}}\log^5|x + 1| = -\infty$$

I due limiti sono diversi, quindi il limite per $x \to -1$ non esiste; la retta $x = -1$ è asintoto verticale destro.

Errori comuni

• Non distinguere i due lati: $e^{\frac{1}{x+1}}$ va a $0$ da una parte e a $+\infty$ dall'altra.
• Applicare la gerarchia direttamente per $x \to -1$: la gerarchia è per variabile che tende a $+\infty$; prima si cambia variabile.
• Sbagliare il segno di $\log^5$: la quinta potenza di un numero negativo è negativa.