Esercizio 120criterio di Leibniz con l'arcotangente

Testo (Lezione 35). Studiare convergenza assoluta e semplice di

$$\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} \frac{\arctan n}{n+1}$$

Sia $a_n = \frac{\arctan n}{n+1}$. Per $n \ge 1$ è $a_n > 0$ (l'arcotangente di un numero positivo è positiva), e $a_0 = 0$: quindi $a_n \ge 0$ per ogni $n$.

Convergenza assoluta

$\sum |(-1)^{n+1}a_n| = \sum a_n$. Per $n \to +\infty$, $\arctan n \to \frac\pi2$, cioè $\arctan n \sim \frac\pi2$ (una funzione che tende a un numero diverso da zero è asintotica a quel numero). Quindi

$$a_n \sim \frac{\pi/2}{n} = \frac\pi2 \cdot \frac1n$$

e la serie armonica $\sum \frac1n$ diverge: per il confronto asintotico $\sum a_n = +\infty$. La serie non converge assolutamente.

Convergenza semplice: criterio di Leibniz

La serie è alternata ($a_n \ge 0$, segni che si alternano). Si verificano le due ipotesi del criterio di LeibnizSe $a_n \ge 0$, $a_n \to 0$ e $a_n$ è (definitivamente) decrescente, allora $\sum (-1)^n a_n$ converge.Serie a termini di segno variabile →.

(1) $a_n \to 0$: $a_n \sim \frac\pi2 \cdot \frac1n \to 0$ ✓.

(2) $a_n$ decrescente? Attenzione: l'asintotico $\frac\pi2 \cdot \frac1n$ è decrescente, ma questo non implica che $a_n$ lo sia. Bisogna dimostrarlo sulla $a_n$ data. E non è ovvio: il numeratore $\arctan n$ cresce, il denominatore $n + 1$ cresce anche lui; chi vince?

Metodo: si mette $x$ al posto di $n$, $f(x) = \frac{\arctan x}{x+1}$, e si dimostra che $f'(x) < 0$ definitivamente per $x \to +\infty$ (una funzione con derivata negativa su un intervallo è decrescente lì, e allora lo sono anche i suoi valori sugli interi).

Con la regola del quoziente, e $D(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2}$:

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{1+x^2}(x+1) - \arctan x \cdot 1}{(x+1)^2}$$

Per $x \to +\infty$: il primo pezzo del numeratore $\frac{x+1}{1+x^2} \sim \frac{x}{x^2} = \frac1x \to 0$, mentre $\arctan x \to \frac\pi2$. Quindi il numeratore tende a $0 - \frac\pi2 = -\frac\pi2$, e

$$f'(x) \sim \frac{-\pi/2}{x^2} = -\frac\pi2 \cdot \frac{1}{x^2} < 0$$

Siccome $f'(x)$ è asintotica a una quantità negativa, è negativa definitivamente: $f$ è decrescente per $x$ grande, e quindi $a_n$ è definitivamente decrescente ✓.

Conclusione

Per il criterio di Leibniz la serie converge semplicemente, ma non assolutamente.

Controllo numerico (Python): $a_1 \approx 0{,}393$, $a_2 \approx 0{,}369$, $a_3 \approx 0{,}312$, $a_{10} \approx 0{,}134$: già dai primi termini $a_n$ decresce.

Errori comuni

• Dedurre la decrescenza dall'asintotico: va dimostrata sulla $a_n$ data (qui con la derivata).
• Fermarsi a "non converge assolutamente": la serie converge lo stesso, semplicemente.