Esercizio 139funzioni razionali con Δ minore di 0 e divisione tra polinomi

Testo (Lezione 40, esercizi 15, 16, 17). Calcolare

$$15.1 \ \int\frac{dx}{x^2 + x + 4} \qquad 15.2 \ \int\frac{x + 1}{x^2 + x + 4}\,dx \qquad 16. \ \int\frac{3x^4 - 2x^3 + 1}{x^2 + 1}\,dx$$ $$17.1 \ \int\frac{x^3}{3x^2 + 1}\,dx \qquad 17.2 \ \int\frac{2x^2 + 1}{x^2 - 4}\,dx$$

Metodi: Integrazione delle funzioni razionaliPer ∫P(x)/Q(x)dx con grado P < grado Q: se Q ha grado 1 si sostituisce y = ax+b (viene un logaritmo); se Q = ax²+bx+c, con Δ > 0 si scompone in fratti semplici A/(x−x₁) + B/(x−x₂) (A, B dal principio di identità dei polinomi), con Δ = 0 si sostituisce y = x − x₁, con Δ < 0 si completa il quadrato e si arriva a un logaritmo più un'arcotangente. Se grado P ≥ grado Q si divide prima; se Q ha grado > 2 si scompone in fattori e si usano i fratti semplici.Integrazione delle funzioni razionali →. Tutti i risultati sono stati verificati derivando con Python.

15.1 $\int\frac{dx}{x^2 + x + 4}$ ($\Delta < 0$, numeratore costante)

$\Delta = 1 - 16 = -15 < 0$: il denominatore non si scompone. Completamento dei quadrati: si aggiunge e toglie $\left(\frac12\right)^2 = \frac14$ (la metà del coefficiente di $x$, al quadrato): $$x^2 + x + 4 = \left(x^2 + x + \tfrac14\right) - \tfrac14 + 4 = \left(x + \tfrac12\right)^2 + \tfrac{15}{4} = \left(x + \tfrac12\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{15}}{2}\right)^2$$ Si raccoglie $\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^2$ per far comparire la forma $[\ldots]^2 + 1$: $$x^2 + x + 4 = \left(\tfrac{\sqrt{15}}{2}\right)^2\left[\left(\tfrac{2}{\sqrt{15}}\left(x + \tfrac12\right)\right)^2 + 1\right]$$ Quindi $$I = \frac{4}{15}\int\frac{dx}{\left[\frac{2}{\sqrt{15}}\left(x + \frac12\right)\right]^2 + 1} = \frac{2}{\sqrt{15}}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{15}}\,dx}{\left[\frac{2}{\sqrt{15}}\left(x + \frac12\right)\right]^2 + 1}$$ (si è scritto $\frac{4}{15} = \frac{2}{\sqrt{15}}\cdot\frac{2}{\sqrt{15}}$ per far comparire il $dy$). Con $y = \frac{2}{\sqrt{15}}\left(x + \frac12\right)$, $dy = \frac{2}{\sqrt{15}}\,dx$: $$I = \frac{2}{\sqrt{15}}\int\frac{dy}{y^2 + 1} = \frac{2}{\sqrt{15}}\arctan y + k = \frac{2}{\sqrt{15}}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt{15}}\left(x + \tfrac12\right)\right) + k$$

15.2 $\int\frac{x + 1}{x^2 + x + 4}\,dx$ ($\Delta < 0$, numeratore di grado 1)

Passo 1: si fa comparire al numeratore la derivata del denominatore, $D(x^2 + x + 4) = 2x + 1$. Moltiplicando e dividendo per $2$: $$\frac12\int\frac{2x + 2}{x^2 + x + 4}\,dx = \frac12\int\frac{(2x + 1) + 1}{x^2 + x + 4}\,dx = \frac12\int\frac{2x + 1}{x^2 + x + 4}\,dx + \frac12\int\frac{dx}{x^2 + x + 4}$$ Passo 2: il primo è del tipo $\frac{f'}{f}$; il secondo è 15.1. $$I = \frac12\log(x^2 + x + 4) + \frac12\cdot\frac{2}{\sqrt{15}}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt{15}}\left(x + \tfrac12\right)\right) + k$$ (niente modulo nel logaritmo: $x^2 + x + 4 > 0$ sempre, perché $\Delta < 0$ e il coefficiente di $x^2$ è positivo).

16. $\int\frac{3x^4 - 2x^3 + 1}{x^2 + 1}\,dx$ (grado num. $4 \ge 2$)

Divisione tra polinomi (si scrivono anche i termini mancanti, $0x^2$ e $0x$):

Quoziente $D(x) = 3x^2 - 2x - 3$, resto $R(x) = 2x + 4$ (grado $1 < 2$): $3x^4 - 2x^3 + 1 = (3x^2 - 2x - 3)(x^2 + 1) + 2x + 4$. Quindi $$I = \int(3x^2 - 2x - 3)\,dx + \int\frac{2x + 4}{x^2 + 1}\,dx = x^3 - x^2 - 3x + \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 4\int\frac{dx}{x^2 + 1}$$ $$= x^3 - x^2 - 3x + \log(x^2 + 1) + 4\arctan x + k$$

17.1 $\int\frac{x^3}{3x^2 + 1}\,dx$ (senza divisione)

Spesso la divisione non serve. Si scrive $x^3 = x^2\cdot x$ e si fa comparire il denominatore: $x^2 = \frac13(3x^2 + 1) - \frac13$. Quindi $$\frac{x^3}{3x^2 + 1} = \frac13\cdot\frac{(3x^2 + 1) - 1}{3x^2 + 1}\cdot x = \frac13 x - \frac13\cdot\frac{x}{3x^2 + 1}$$ Il secondo pezzo: la derivata di $3x^2 + 1$ è $6x$, quindi $\int\frac{x}{3x^2 + 1}\,dx = \frac16\int\frac{6x}{3x^2 + 1}\,dx = \frac16\log(3x^2 + 1)$. $$I = \frac13\cdot\frac{x^2}{2} - \frac13\cdot\frac16\log(3x^2 + 1) + k = \frac16 x^2 - \frac{1}{18}\log(3x^2 + 1) + k$$

17.2 $\int\frac{2x^2 + 1}{x^2 - 4}\,dx$

Far comparire il denominatore: $2x^2 + 1 = 2(x^2 - 4) + 8 + 1 = 2(x^2 - 4) + 9$, quindi $$I = \int\left[2 + \frac{9}{x^2 - 4}\right] dx = 2x + 9\int\frac{dx}{x^2 - 4}$$ Fratti semplici: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ ($\Delta > 0$, radici $\pm 2$). $$\frac{1}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} = \frac{(A + B)\,x + 2A - 2B}{(x - 2)(x + 2)} \quad \Longrightarrow \quad \begin{cases} A + B = 0 \\ 2A - 2B = 1 \end{cases}$$ Da $B = -A$: $4A = 1$, $A = \frac14$, $B = -\frac14$. Quindi $$\int\frac{dx}{x^2 - 4} = \frac14\log|x - 2| - \frac14\log|x + 2| = \frac14\log\left|\frac{x - 2}{x + 2}\right|$$ (proprietà dei logaritmi: $\log a - \log b = \log\frac ab$, utile per compattare). $$I = 2x + \frac94\log\left|\frac{x - 2}{x + 2}\right| + k$$

Errori comuni

• Nel completamento dei quadrati, sbagliare il numero da aggiungere: è $\left(\frac b2\right)^2$.
• Nella divisione, dimenticare i termini nulli ($0x^2$, $0x$): sballano l'incolonnamento.