Esercizio 61arctan² x su 1 - cos x e somme con tan e sin

Testo (Lezione 22, esercizi 5 e 6 del foglio). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{\arctan^2 x}{1 - \cos x}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{x - 2\tan x + 5\sin x}{x^3 + 1 - \cos x}$

Teoria: Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →.

1. $\lim_{x \to 0^+} \frac{\arctan^2 x}{1 - \cos x}$

Numeratore e denominatore tendono a $0$: forma $\frac00$. Servono i limiti notevoli $\frac{\arctan x}{x} \to 1$ e $\frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac12$.

Metodo "base": far comparire i limiti notevoli

Si moltiplica e si divide per $x^2$ (che è il "giusto" denominatore per entrambi):

$$\frac{\arctan^2 x}{1 - \cos x} = \frac{\arctan^2 x}{x^2} \cdot \frac{x^2}{1 - \cos x} = \left(\frac{\arctan x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{\frac{1 - \cos x}{x^2}} \to 1^2 \cdot \frac{1}{\frac12} = 2$$

Metodo con l'asintoticità

I limiti notevoli dicono che, per $x \to 0$, $\arctan x \sim x$ e $1 - \cos x \sim \frac12 x^2$. Poiché le potenze conservano l'asintoticità, $\arctan^2 x \sim x^2$. In un quoziente si sostituisce:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\arctan^2 x}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{\frac12 x^2} = 2$$

Metodo con gli o-piccoli

$\arctan x = x + o(x)$ e $1 - \cos x = \frac12 x^2 + o(x^2)$:

$$\frac{(x + o(x))^2}{\frac12 x^2 + o(x^2)} = \frac{x^2 + 2x\,o(x) + [o(x)]^2}{\frac12 x^2 + o(x^2)} = \frac{x^2 + o(x^2)}{\frac12 x^2 + o(x^2)} \to 2$$

(per l'algebra degli o-piccoli: $x \cdot o(x) = o(x^2)$ e $[o(x)]^2 = o(x^2)$).

Verifica numerica. $x = 0{,}1$: $\approx 1{,}988$; $x = 0{,}01$: $\approx 1{,}99988$ ✓.

2. $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - 2\tan x + 5\sin x}{x^3 + 1 - \cos x}$

Di nuovo $\frac00$.

Metodo "base": raccogliere

Al numeratore si raccoglie $x$, al denominatore $x^2$ (il "giusto" ordine di $1 - \cos x$):

$$\frac{x\left[1 - 2\frac{\tan x}{x} + 5\frac{\sin x}{x}\right]}{x^2\left[x + \frac{1 - \cos x}{x^2}\right]} = \frac1x \cdot \frac{1 - 2\frac{\tan x}{x} + 5\frac{\sin x}{x}}{x + \frac{1 - \cos x}{x^2}}$$

• la parentesi al numeratore tende a $1 - 2 + 5 = 4$;
• quella al denominatore tende a $0 + \frac12 = \frac12$;
• $\frac1x \to +\infty$ per $x \to 0^+$.

Risultato: $(+\infty) \cdot \frac{4}{1/2} = +\infty$.

Metodo con asintoticità e o-piccoli

Qui non si può sostituire direttamente $\tan x$ e $\sin x$ con $x$ nel numeratore, perché è una somma: bisogna usare la forma con l'o-piccolo e controllare che i termini principali non si cancellino.

• Numeratore: $\tan x = x + o(x)$, $\sin x = x + o(x)$: $$x - 2(x + o(x)) + 5(x + o(x)) = x - 2x + 5x + o(x) = 4x + o(x) \sim 4x$$ (i coefficienti danno $1 - 2 + 5 = 4 \ne 0$: il termine principale sopravvive).
• Denominatore: $1 - \cos x = \frac12 x^2 + o(x^2)$, e $x^3 = o(x^2)$ per $x \to 0$ (in $0$ la potenza più alta è più piccola): $$x^3 + \frac12 x^2 + o(x^2) = \frac12 x^2 + o(x^2) \sim \frac12 x^2$$

Quindi

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{4x}{\frac12 x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{8}{x} = +\infty$$

Verifica numerica. $x = 0{,}1$: $\approx 66$ (contro $\frac8x = 80$); $x = 0{,}01$: $\approx 784$ (contro $800$): cresce come $\frac8x$ ✓.

Errori comuni

• Sostituire con gli asintotici dentro una somma: in $x - 2\tan x + 5\sin x$ funziona solo perché i coefficienti non si cancellano; se fossero, per esempio, $x - \sin x$, si otterrebbe $o(x)$ e non si potrebbe concludere (serve uno sviluppo più preciso).
• Raccogliere $x^3$ al denominatore "perché è la potenza più alta": per $x \to 0$ comanda la potenza più bassa, qui $x^2$.
• Dimenticare il $\frac12$ in $1 - \cos x \sim \frac12 x^2$.