Esercizio 65gerarchia degli infinitesimi a più infinito e in 0⁺

Testo (Lezione 23, esercizi 11 e 12 del foglio). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \frac{n^{-n} + 4^{-n} - \frac3n}{\frac{5}{n^3} + \frac6n}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{6x^{1/x} - \sqrt[4]{x}}{x^3\log^4 x - 2e^{-1/x} + 4\sqrt[4]{x}}$

Teoria: Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo →.

1. Il limite di successione

Tutti i termini tendono a $0$: forma $\frac00$. Si usa la gerarchia degli infinitesimi per $n \to +\infty$, che dice (dal più veloce al più lento):

$$n^{-n} \ll 4^{-n} \ll \frac{1}{n^3} \ll \frac1n$$

cioè ognuno è o-piccolo di quelli più a destra. Il termine "più grande" (quello che va a zero più lentamente) è $\frac1n$.

Numeratore

$n^{-n} = o\left(\frac1n\right)$ e $4^{-n} = o\left(\frac1n\right)$, quindi

$$\text{NUM} = -\frac3n + o\left(\frac1n\right) \sim -\frac3n$$

Denominatore

$\frac{5}{n^3} = o\left(\frac1n\right)$, quindi $\text{DEN} = \frac6n + o\left(\frac1n\right) \sim \frac6n$.

Conclusione

$$L = \lim_n \frac{-3/n}{6/n} = -\frac12$$

Lo stesso raccogliendo

$$\frac{-\frac3n\left[1 - \frac{n}{3n^n} - \frac{n}{3 \cdot 4^n}\right]}{\frac6n\left[1 + \frac56 \cdot \frac{1}{n^2}\right]} \to -\frac12 \cdot \frac{1 - 0 - 0}{1 + 0} = -\frac12$$

(le frazioni $\frac{n}{n^n}$ e $\frac{n}{4^n}$ tendono a $0$ per la gerarchia degli infiniti).

Verifica numerica. $n = 10$: $\approx -0{,}4959$; $n = 100$: $\approx -0{,}49996$ ✓.

2. Il limite per $x \to 0^+$

Di nuovo $\frac00$: per $x \to 0^+$, $x^{1/x} = e^{\frac{\log x}{x}} \to e^{-\infty} = 0$, $\sqrt[4]{x} \to 0$, $x^3\log^4 x \to 0$ (potenza per logaritmo), $e^{-1/x} \to e^{-\infty} = 0$. Si usa la gerarchia degli infinitesimi per $x \to 0^+$:

$$x^{1/x},\ a^{-1/x},\ x^{\alpha_2} \ = \ o(x^\alpha) \qquad (a > 1,\ \alpha_2 > \alpha > 0)$$

Numeratore

$x^{1/x} = o(x^{1/4})$, quindi

$$\text{NUM} = -x^{1/4} + o(x^{1/4}) \sim -x^{1/4}$$

Denominatore

Tre termini da confrontare con $x^{1/4}$:

• $x^3\log^4 x$: è del tipo $x^\alpha|\log x|^p$ con $\alpha = 3$; confrontato con $x^\beta$, $\beta = \frac14 < 3$, è $o(x^{1/4})$ (il logaritmo non basta a compensare la differenza di esponenti);
• $e^{-1/x} = o(x^{1/4})$ (un esponenziale $a^{-1/x}$ con $a = e > 1$);
• resta $4x^{1/4}$.

$$\text{DEN} = 4x^{1/4} + o(x^{1/4}) \sim 4x^{1/4}$$

Conclusione

$$L = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^{1/4}}{4x^{1/4}} = -\frac14$$

Verifica numerica. $x = 0{,}1$: $\approx -0{,}2469$; $x = 0{,}01$: $\approx -0{,}24991$; $x = 0{,}001$: $\approx -0{,}2499992$ ✓.

Errori comuni

• Scegliere come termine principale quello con l'esponente più alto: tra gli infinitesimi comanda quello che va a zero più lentamente, cioè (in $0^+$) la potenza con esponente più basso.
• Pensare che $x^{1/x}$ sia "una potenza di $x$": l'esponente $\frac1x$ esplode, e va a zero più in fretta di ogni potenza.
• Dimenticare il logaritmo in $x^3\log^4 x$: qui non cambia niente perché $3 > \frac14$, ma con esponenti uguali il termine col logaritmo sarebbe il più grande.