Esercizio 68limite in 1⁻ con 3¹/(x-1)), radici e log¹/3) x

Testo (Lezione 24, esercizio 13 del foglio). Calcolare

$$L = \lim_{x \to 1^-} \frac{3^{\frac{1}{x - 1}} + 3(1 - x^2) - \sqrt{1 - x}}{\sqrt[3]{1 - x}\,\log^{1/3} x + \sqrt{1 - x}}$$

Teoria: Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo →, Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →.

Passo 0: che forma è

Per $x \to 1^-$: $x - 1 \to 0^-$, quindi $\frac{1}{x - 1} \to -\infty$ e $3^{\frac{1}{x-1}} \to 0$; $1 - x^2 \to 0$; $\sqrt{1 - x} \to 0$; $\log x \to 0$. Forma $\frac00$.

(Attenzione: $\log^{1/3} x = \sqrt[3]{\log x}$, e per $x < 1$ il logaritmo è negativo; la radice cubica di un negativo esiste ed è negativa.)

Passo 1: cambio di variabile

Conviene una variabile che tende a $0^+$: $y = 1 - x \to 0^+$, cioè $x = 1 - y$. Allora:

• $\frac{1}{x - 1} = -\frac1y$, quindi $3^{\frac{1}{x-1}} = 3^{-1/y}$;
• $1 - x^2 = 1 - (1 - y)^2 = 1 - (1 - 2y + y^2) = 2y - y^2$, quindi $3(1 - x^2) = 6y - 3y^2$;
• $\sqrt{1 - x} = y^{1/2}$, $\sqrt[3]{1 - x} = y^{1/3}$;
• $\log x = \log(1 - y)$.

$$L = \lim_{y \to 0^+} \frac{3^{-1/y} + 6y - 3y^2 - y^{1/2}}{y^{1/3}\log^{1/3}(1 - y) + y^{1/2}}$$

Passo 2: il numeratore

Gerarchia degli infinitesimi per $y \to 0^+$: $3^{-1/y}$ (esponenziale $a^{-1/y}$) e le potenze $y$, $y^2$ con esponente maggiore di $\frac12$ sono tutte $o(y^{1/2})$. Il termine che va a zero più lentamente è $y^{1/2}$:

$$\text{NUM} = -y^{1/2} + o(y^{1/2}) \sim -y^{1/2}$$

Passo 3: il denominatore

Il pezzo delicato è $\log^{1/3}(1 - y)$. Dal limite notevole $\log(1 + t) = t + o(t)$ con $t = -y \to 0$:

$$\log(1 - y) = -y + o(y)$$

e poiché le potenze conservano l'asintoticità ($\log(1 - y) \sim -y$, quindi le radici cubiche sono asintotiche):

$$\log^{1/3}(1 - y) = (-y + o(y))^{1/3} \sim (-y)^{1/3} = -y^{1/3}$$

cioè $\log^{1/3}(1 - y) = -y^{1/3} + o(y^{1/3})$. Moltiplicando per $y^{1/3}$:

$$y^{1/3}\log^{1/3}(1 - y) = -y^{2/3} + o(y^{2/3})$$

Ora si confronta con $y^{1/2}$: in $0^+$ comanda l'esponente minore, e $\frac12 < \frac23$, quindi $y^{2/3} = o(y^{1/2})$:

$$\text{DEN} = -y^{2/3} + o(y^{2/3}) + y^{1/2} = y^{1/2} + o(y^{1/2}) \sim y^{1/2}$$

Conclusione

$$L = \lim_{y \to 0^+} \frac{-y^{1/2}}{y^{1/2}} = -1$$

Verifica numerica. Con $x = 1 - 10^{-6}$ il quoziente vale $\approx -1{,}10$: si avvicina a $-1$ lentamente, perché il termine trascurato al denominatore è $y^{2/3}$ contro $y^{1/2}$, e il loro rapporto $y^{1/6}$ va a zero piano ($10^{-6/6} = 0{,}1$) ✓.

Errori comuni

• Scegliere $y^{2/3}$ come termine principale "perché l'esponente è più grande": vicino a $0$ è più piccolo.
• Dimenticare il segno di $\log^{1/3}(1 - y)$: è negativo.
• Sviluppare male $(1 - y)^2$: $1 - 2y + y^2$.