Esercizio 75studio di radice di (1 - log(x²)/arccos x

Testo (Lezione 26, esercizio 4 del foglio). Data

$$f(x) = \sqrt{\frac{1 - \log(x^2)}{\arccos x}}$$

• (a) dominio, simmetrie, segno di $f$;
• (b) asintoti, punti di continuità e di prolungamento per continuità;
• (c) $f$ è inferiormente o superiormente limitata?

Teoria: Discontinuità e prolungamento per continuitàIn un punto interno del dominio f può avere discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) o eliminabile; in un punto fuori dal dominio, se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti, f si prolunga per continuità. Limiti alla frontiera nello studio di funzione.Discontinuità e prolungamento per continuità →, Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →, Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →.

(a) Dominio, simmetrie, segno

Le condizioni

Quattro funzioni con dominio ristretto:

Si semplificano una alla volta:

• $x^2 > 0 \iff x \ne 0$.
• L'arcocoseno va da $[-1, 1]$ a $[0, \pi]$, è strettamente decrescente e vale $0$ solo in $x = 1$ ($\arccos 1 = 0$). Quindi $\arccos x \ne 0 \iff x \ne 1$, e per $x \in [-1, 1[$ si ha $\arccos x > 0$.
• Siccome il denominatore è positivo, la condizione della radice si riduce al numeratore: $$1 - \log(x^2) \ge 0 \iff \log(x^2) \le 1 \iff x^2 \le e \iff -\sqrt e \le x \le \sqrt e$$ (si applica l'esponenziale, crescente, ai due membri). Ma $\sqrt e \approx 1{,}65 > 1$: questa condizione è automaticamente vera per $x \in [-1, 1]$.

$$\mathrm{dom} f = [-1, 1[ \,\setminus \{0\}$$

Simmetrie

Il dominio non è simmetrico rispetto all'origine ($-1$ c'è, $1$ no): $f$ non è né pari né dispari.

Segno

Una radice quadrata è sempre $\ge 0$. Anzi, il numeratore $1 - \log(x^2)$ è strettamente positivo nel dominio ($x^2 < e$), quindi

$$f(x) > 0 \qquad \forall x \in [-1, 1[ \,\setminus \{0\}$$

(b) Continuità e limiti alla frontiera

$f$ è composta da funzioni elementari: è continua in tutto il dominio $[-1, 1[ \setminus \{0\}$.

I punti di frontiera da studiare sono $1^-$ (estremo escluso) e $0^\pm$ (punto tolto). In $-1$ non serve il limite: $-1$ sta nel dominio e $f$ è continua lì:

$$f(-1) = \sqrt{\frac{1 - \log 1}{\arccos(-1)}} = \sqrt{\frac{1 - 0}{\pi}} = \frac{1}{\sqrt\pi}$$

In $1^-$. Il numeratore tende a $1 - \log 1 = 1$, il denominatore $\arccos x \to 0^+$:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \sqrt{\frac{1}{0^+}} = +\infty$$

$x = 1$ è asintoto verticale sinistro.

In $0^\pm$. $\log(x^2) \to -\infty$, quindi $1 - \log(x^2) \to +\infty$; il denominatore tende ad $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$:

$$\lim_{x \to 0^\pm} f(x) = \sqrt{\frac{+\infty}{\pi/2}} = +\infty$$

$x = 0$ è asintoto verticale completo, e in $0$ $f$ non è prolungabile per continuità.

Non ci sono asintoti orizzontali od obliqui: il dominio è limitato.

(c) Limitatezza

• $\sup f = +\infty$ (dai limiti in $0$ e in $1^-$): $f$ non è superiormente limitata.
• $f(x) > 0$: $f$ è inferiormente limitata (da $0$).

Quanto vale $\inf f$? Con gli strumenti di questa lezione non si può dire (la prof si ferma qui). Numericamente: su $[-1, 0[$ i valori partono da $f(-1) = \frac{1}{\sqrt\pi} \approx 0{,}564$ e crescono verso $+\infty$; su $]0, 1[$ il valore più piccolo è circa $1{,}47$ (vicino a $x \approx 0{,}68$). Quindi $\inf f = \min f = f(-1) = \frac{1}{\sqrt\pi}$; lo si potrà dimostrare con lo studio della derivata.

Errori comuni

• Scrivere $\log(x^2) = 2\log x$: vale solo per $x > 0$. In generale $\log(x^2) = 2\log|x|$, e qui $x$ può essere negativo.
• Calcolare il limite in $-1$: $-1$ sta nel dominio, basta calcolare $f(-1)$.
• Dimenticare che $\arccos 1 = 0$: va escluso $x = 1$.