Esercizio 72derivate con la regola della catena e con f^g

Testo (Lezione 25: i primi tre sono gli esempi della lezione, gli ultimi tre sono aggiunti per esercitarsi). Calcolare la derivata di

1. $f(x) = e^{3\tan(e^{-x} + \cos(2x))}$
2. $f(x) = x^x$ ($x > 0$)
3. $f(x) = \log|x|$ ($x \ne 0$)
4. $f(x) = x^2\sin x$
5. $f(x) = \sqrt{1 + x^2}$
6. $f(x) = \frac{\log x}{x}$ ($x > 0$)

Teoria: Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →.

1. $e^{3\tan(e^{-x} + \cos(2x))}$

È una composizione a tre strati. Si deriva dall'esterno verso l'interno, moltiplicando ogni volta per la derivata di quello che sta dentro.

• Strato esterno: $e^y$, con derivata $e^y$. Si lascia l'esponente com'è e si moltiplica per la derivata dell'esponente: $$f'(x) = e^{3\tan(e^{-x} + \cos(2x))} \cdot D\left[3\tan(e^{-x} + \cos(2x))\right]$$
• Strato intermedio: $3\tan z$, con derivata $\frac{3}{\cos^2 z}$: $$D\left[3\tan(e^{-x} + \cos(2x))\right] = \frac{3}{\cos^2(e^{-x} + \cos(2x))} \cdot D\left[e^{-x} + \cos(2x)\right]$$
• Strato interno: una somma, che si deriva termine a termine, ancora con la catena: $$D(e^{-x}) = e^{-x} \cdot D(-x) = -e^{-x}, \qquad D(\cos(2x)) = -\sin(2x) \cdot D(2x) = -2\sin(2x)$$

Risultato:

$$f'(x) = -e^{3\tan(e^{-x} + \cos(2x))} \cdot \frac{3\left(e^{-x} + 2\sin(2x)\right)}{\cos^2(e^{-x} + \cos(2x))}$$

2. $x^x$

Base ed esponente variabili: forma esponenziale $x^x = e^{x\log x}$. Con la catena e la derivata del prodotto ($D(x\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac1x = \log x + 1$):

$$D(x^x) = e^{x\log x} \cdot (\log x + 1) = x^x(\log x + 1)$$

Verifica numerica in $x = 2$: $f'(2) = 4(\log 2 + 1) \approx 6{,}77$; il rapporto incrementale con $h = 0{,}001$ vale $\frac{2{,}001^{2{,}001} - 4}{0{,}001} \approx 6{,}78$ ✓.

3. $\log|x|$

Si distinguono i due casi:

• $x > 0$: $|x| = x$, e $D\log x = \frac1x$;
• $x < 0$: $|x| = -x$, e con la catena $D\log(-x) = \frac{1}{-x} \cdot D(-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac1x$.

In entrambi i casi $D\log|x| = \frac1x$.

4. $x^2\sin x$

Prodotto (formula di Leibniz): $D(fg) = f'g + fg'$ con $f = x^2$, $g = \sin x$:

$$D(x^2\sin x) = 2x\sin x + x^2\cos x$$

5. $\sqrt{1 + x^2}$

$\sqrt{1 + x^2} = (1 + x^2)^{1/2}$: potenza di una funzione. Catena con $D(y^{1/2}) = \frac12 y^{-1/2}$ e $D(1 + x^2) = 2x$:

$$D\sqrt{1 + x^2} = \frac12(1 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$$

6. $\frac{\log x}{x}$

Quoziente: $D\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ con $f = \log x$, $g = x$:

$$D\left(\frac{\log x}{x}\right) = \frac{\frac1x \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$$

(è positiva per $x < e$ e negativa per $x > e$: si vedrà che questo dice dove la funzione cresce e dove decresce).

Errori comuni

• Dimenticare uno strato nella catena (per esempio il fattore $2$ di $\cos(2x)$, o il $-1$ di $e^{-x}$).
• Derivare $x^x$ come $x \cdot x^{x - 1}$: quella è la regola delle potenze con esponente fisso.
• Invertire l'ordine al numeratore del quoziente: è $f'g - fg'$.