Esercizio 144uno su radice di un polinomio di secondo grado

Testo (Lezione 41, esercizi 25.1 e 25.2). Calcolare

$$25.1 \ \int\frac{dx}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} \qquad\qquad 25.2 \ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}$$

Metodo (vedi Integrali di funzioni irrazionaliCon radici di x di indici diversi si pone y = radice di indice n = mcm degli indici, e l'integrale diventa razionale. Per 1/√(ax²+bx+c) si completa il quadrato e si arriva ad arcsin, settsinh o settcosh; per √(ax²+bx+c) ci si riduce a √(R²−x²), √(x²+R²), √(x²−R²), che si calcolano con x = R sin t, x = R sinh t, x = R cosh t. Con √(R²−x²) si ottiene l'area del cerchio πR².Integrali di funzioni irrazionali →, punto 2): completamento dei quadrati, poi una sostituzione lineare per arrivare a $\frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}$ o $\frac{1}{\sqrt{y^2 + 1}}$.

25.1 ($a = -1 < 0$, $\Delta = 4 + 12 > 0$: arcoseno)

Completamento dei quadrati. Si raccoglie il segno meno e si completa: $$3 - 2x - x^2 = -(x^2 + 2x - 3) = -\left[(x^2 + 2x + 1) - 1 - 3\right] = -\left[(x + 1)^2 - 4\right] = 4 - (x + 1)^2$$ Si raccoglie $4$ per avere la forma $1 - (\ldots)^2$: $$= 4\left[1 - \left(\frac{x + 1}{2}\right)^2\right] \qquad \Longrightarrow \qquad \sqrt{3 - 2x - x^2} = 2\sqrt{1 - \left(\frac{x+1}{2}\right)^2}$$ Sostituzione. $y = \frac{x + 1}{2}$, $dy = \frac12\,dx$: $$\int\frac{dx}{2\sqrt{1 - \left(\frac{x+1}{2}\right)^2}} = \int\frac{\frac12\,dx}{\sqrt{1 - y^2}} = \int\frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \arcsin y + k = \arcsin\frac{x + 1}{2} + k$$ (per $-3 < x < 1$, dove il radicando è positivo).

25.2 ($a = 1 > 0$, $\Delta = 4 - 20 < 0$: settore seno iperbolico)

Completamento dei quadrati. $$x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) - 1 + 5 = (x + 1)^2 + 4 = 4\left[\left(\frac{x + 1}{2}\right)^2 + 1\right]$$ Sostituzione. $y = \frac{x + 1}{2}$, $dy = \frac12\,dx$: $$\int\frac{dx}{2\sqrt{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2 + 1}} = \int\frac{dy}{\sqrt{y^2 + 1}} = \text{settsinh}\,y + k = \log\left(\frac{x + 1}{2} + \sqrt{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2 + 1}\right) + k$$ per ogni $x \in \mathbb{R}$.

(Verificati derivando con Python.)

Errori comuni

• Completare il quadrato senza raccogliere prima il segno di $x^2$ quando $a < 0$.
• Dimenticare il $\frac12$ di $dy$: qui si semplifica con il $2$ che esce dalla radice.