Esercizio 145radici di polinomi di secondo grado e area del cerchio

Testo (Lezione 41). (a) Calcolare l'area del cerchio di raggio $R > 0$. Calcolare $$25.3 \ \int\sqrt{3 - 2x - x^2}\,dx \qquad\qquad 25.4 \ \int\sqrt{x^2 + 2x + 5}\,dx$$

Metodo: Integrali di funzioni irrazionaliCon radici di x di indici diversi si pone y = radice di indice n = mcm degli indici, e l'integrale diventa razionale. Per 1/√(ax²+bx+c) si completa il quadrato e si arriva ad arcsin, settsinh o settcosh; per √(ax²+bx+c) ci si riduce a √(R²−x²), √(x²+R²), √(x²−R²), che si calcolano con x = R sin t, x = R sinh t, x = R cosh t. Con √(R²−x²) si ottiene l'area del cerchio πR².Integrali di funzioni irrazionali →, punto 3. Le formule generali per $\int\sqrt{R^2 - x^2}$ e $\int\sqrt{x^2 + R^2}$ sono ricavate lì.

(a) Area del cerchio

Il cerchio $C$ di centro l'origine e raggio $R$ è $\{(x, y) : x^2 + y^2 \le R^2\}$. Per simmetria la sua area è $4$ volte quella del quarto $T$ nel primo quadrante. Da $x^2 + y^2 = R^2$ con $y \ge 0$ si ricava $y = \sqrt{R^2 - x^2}$: $T$ è il trapezoide di $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ su $[0, R]$. $$|C| = 4|T| = 4\int_0^R\sqrt{R^2 - x^2}\,dx$$ Sostituzione con cambio degli estremi. $x = R\sin t$, $dx = R\cos t\,dt$, $t = \arcsin\frac xR$:

• $x = 0 \Rightarrow t = \arcsin 0 = 0$;
• $x = R \Rightarrow t = \arcsin 1 = \frac\pi2$.

Per $t \in [0, \frac\pi2]$ è $\cos t \ge 0$, quindi $\sqrt{R^2 - R^2\sin^2 t} = R\sqrt{\cos^2 t} = R\cos t$: $$|C| = 4\int_0^{\pi/2} R\cos t\cdot R\cos t\,dt = 4R^2\int_0^{\pi/2}\cos^2 t\,dt = 4R^2\left[\frac{t + \sin t\cos t}{2}\right]_0^{\pi/2}$$ In $t = \frac\pi2$: $\sin t\cos t = 1 \cdot 0 = 0$; in $t = 0$ tutto vale $0$. Quindi $$|C| = 4R^2\cdot\frac{\pi/2}{2} = \pi R^2$$

Osservazione: con il cambio degli estremi non si deve tornare alla variabile $x$; per gli integrali definiti di questo tipo conviene sempre.

25.3 $\int\sqrt{3 - 2x - x^2}\,dx$

Completamento dei quadrati (stesso conto dell'esercizio 25.1): $3 - 2x - x^2 = 4\left[1 - \left(\frac{x+1}{2}\right)^2\right]$, quindi $$\int\sqrt{3 - 2x - x^2}\,dx = 2\int\sqrt{1 - \left(\frac{x + 1}{2}\right)^2}\,dx$$ Prima sostituzione: $y = \frac{x+1}{2}$, $dx = 2\,dy$: $$= 4\int\sqrt{1 - y^2}\,dy$$ Seconda sostituzione: $y = \sin t$, $dy = \cos t\,dt$ ($t \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$, $\cos t \ge 0$): $$= 4\int\cos^2 t\,dt = 4\cdot\frac{t + \sin t\cos t}{2} + k = 2\left(t + \sin t\cos t\right) + k$$ Ritorno a $x$: $t = \arcsin y$, $\sin t = y$, $\cos t = \sqrt{1 - y^2}$, con $y = \frac{x+1}{2}$: $$\int\sqrt{3 - 2x - x^2}\,dx = 2\left(\arcsin\frac{x + 1}{2} + \frac{x + 1}{2}\sqrt{1 - \left(\frac{x+1}{2}\right)^2}\right) + k$$

25.4 $\int\sqrt{x^2 + 2x + 5}\,dx$

Completamento dei quadrati (come in 25.2): $x^2 + 2x + 5 = 4\left[\left(\frac{x+1}{2}\right)^2 + 1\right]$, quindi con $y = \frac{x + 1}{2}$, $dx = 2\,dy$: $$\int\sqrt{x^2 + 2x + 5}\,dx = 2\int\sqrt{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2 + 1}\,dx = 4\int\sqrt{y^2 + 1}\,dy$$ Seconda sostituzione: $y = \sinh t$, $dy = \cosh t\,dt$, e $\sqrt{\sinh^2 t + 1} = \cosh t$: $$= 4\int\cosh^2 t\,dt = 4\cdot\frac{\sinh t\cosh t + t}{2} + k = 2\left(\sinh t\cosh t + t\right) + k$$ Ritorno a $x$: $\sinh t = y$, $\cosh t = \sqrt{1 + y^2}$, $t = \text{settsinh}\,y$: $$\int\sqrt{x^2 + 2x + 5}\,dx = 2\left(\frac{x + 1}{2}\sqrt{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2 + 1} + \text{settsinh}\frac{x + 1}{2}\right) + k$$

(Risultati di 25.3 e 25.4 verificati derivando con Python.)

Errori comuni

• Scrivere $\sqrt{\cos^2 t} = \cos t$ senza controllare il segno: vale perché $t \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$.
• Nell'area del cerchio, integrare su $[-R, R]$ e moltiplicare per $4$: si conterebbe due volte; o $4\int_0^R$, o $2\int_{-R}^R$.