Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale

Lezione 38 (capitolo 6, paragrafi 4 e 9). Prerequisiti: Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →, Proprietà dell'integrale definito e teorema della mediaL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media → e le derivate.

Notazione. $I$ è un intervallo qualsiasi (anche $I = \mathbb{R}$). $C(I)$ è l'insieme delle funzioni continue su $I$; $C^1(I)$ quello delle funzioni derivabili su $I$ con derivata continua.

Primitive

Primitiva. Data $f \in C(I)$, una funzione $G \in C^1(I)$ tale che $$G'(x) = f(x) \qquad \forall x \in I$$ si chiama primitiva di $f$.

Trovare una primitiva è il problema inverso della derivata: data la derivata, si cerca la funzione.

Esempio. $f(x) = x^2$ su $\mathbb{R}$. $G(x) = \frac13 x^3$ è una primitiva: $G'(x) = \frac13 \cdot 3x^2 = x^2$. Ma anche $G_k(x) = \frac13 x^3 + k$, per ogni costante $k \in \mathbb{R}$, lo è, perché la derivata di una costante è $0$.

Quindi: se una funzione ha una primitiva, ne ha infinite ($G + k$ per ogni $k$). La domanda naturale è se ce ne sono anche altre, non della forma $G + k$. La risposta è no.

Proposizione 1 (le primitive differiscono per una costante)

Sia $f \in C(I)$. Se $F, G \in C^1(I)$ sono due primitive di $f$, esiste $k \in \mathbb{R}$ tale che $$G(x) = F(x) + k \qquad \forall x \in I$$

Dimostrazione. Si pone $H(x) = G(x) - F(x)$. $H \in C^1(I)$ e $$H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0 \qquad \forall x \in I$$ Per il corollario di caratterizzazione delle funzioni costantiUna funzione derivabile su un intervallo con derivata nulla in ogni punto è costante (conseguenza del teorema di Lagrange). $H$ è costante: esiste $k$ con $G(x) - F(x) = k$ per ogni $x \in I$ ∎.

Perché serve che $I$ sia un intervallo: su un insieme "spezzato" la costante può essere diversa su ogni pezzo. Per esempio su $]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$ la funzione che vale $1$ per $x > 0$ e $0$ per $x < 0$ ha derivata nulla ma non è costante.

Integrale indefinito

Integrale indefinito di $f \in C(I)$: è l'insieme di tutte le primitive di $f$ su $I$, $$\int f(x)\,dx = \{G \in C^1(I) : G'(x) = f(x) \ \forall x \in I\}$$

Per la Proposizione 1, trovata una primitiva $F$, le si trovano tutte aggiungendo una costante: $$\int f(x)\,dx = \{F(x) + k : k \in \mathbb{R}\}, \qquad \text{che per abitudine si scrive} \qquad \int f(x)\,dx = F(x) + k, \ k \in \mathbb{R}$$

Attenzione: due oggetti diversi con nomi simili.

A priori non c'entrano niente l'uno con l'altro. Il collegamento passa per la funzione integrale.

Funzione integrale

Funzione integrale di $f \in C(I)$ di centro $a \in I$: è la funzione $F_a : I \to \mathbb{R}$ $$F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt \qquad \forall x \in I$$

L'estremo superiore diventa la variabile; per non fare confusione si chiama $t$ la variabile di integrazione (è muta). Se $x < a$ si usa la convenzione $\int_a^x = -\int_x^a$.

Significato (per $f \ge 0$ su $[a, b]$): $F_a(x)$ è l'area del trapezoide da $a$ fino a $x$, che si allunga al crescere di $x$. In particolare $F_a(a) = \int_a^a f = 0$ e $F_a(b) = |T|$, l'area di tutto il trapezoide.

Esempio. $f(x) = 4$ su $\mathbb{R}$. Con l'integrale delle costanti ($\int_a^b c\,dt = c(b - a)$, anche con la convenzione per $x < a$): $$F_1(x) = \int_1^x 4\,dt = 4(x - 1), \qquad F_3(x) = \int_3^x 4\,dt = 4(x - 3)$$ definite per ogni $x \in \mathbb{R}$ (non solo per $x \ge 1$ o $x \ge 3$). Sono due rette parallele, e $$F_1'(x) = 4 = f(x), \qquad F_3'(x) = 4 = f(x)$$ cioè sono primitive di $f$. Non è un caso.

Teorema fondamentale del calcolo integrale 2 (TFCI 2)

Sia $f \in C(I)$. Allora per ogni $a \in I$ la funzione integrale $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ è una primitiva di $f$: $F_a \in C^1(I)$ e $$F_a'(x) = f(x) \qquad \forall x \in I$$

In parole: derivare la funzione integrale restituisce la funzione integranda. Derivata e integrale sono operazioni inverse.

Dimostrazione. Si fissa $x \in I$ e si calcola la derivata con il rapporto incrementale: $$F_a'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F_a(x + h) - F_a(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac1h \left[\int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt\right]$$ Per l'additività $\int_a^{x+h} = \int_a^x + \int_x^{x+h}$ (vale sia per $h > 0$ sia per $h < 0$, grazie alle convenzioni sugli estremi), quindi i due $\int_a^x$ si cancellano: $$F_a'(x) = \lim_{h \to 0} \frac1h \int_x^{x+h} f(t)\,dt \qquad (\ast)$$ Per $h > 0$, $f$ è continua su $[x, x + h]$ e per il teorema della media integrale esiste $c_h$ con $x \le c_h \le x + h$ tale che $$\frac{1}{(x + h) - x}\int_x^{x+h} f(t)\,dt = \frac1h \int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(c_h)$$ (per $h < 0$ si ragiona allo stesso modo su $[x + h, x]$). Quindi $(\ast)$ diventa $$F_a'(x) = \lim_{h \to 0} f(c_h)$$ Ora $c_h$ è "intrappolato" tra $x$ e $x + h$, e $x + h \to x$: per il teorema del confronto $c_h \to x$. Siccome $f$ è continua, $f(c_h) \to f(x)$. Quindi $F_a'(x) = f(x)$ per ogni $x \in I$, e siccome $f$ è continua, $F_a \in C^1(I)$ ∎.

Conseguenza. Ogni funzione continua su un intervallo ha una primitiva (la sua funzione integrale), e per la Proposizione 1 $$\int f(x)\,dx = \int_a^x f(t)\,dt + k, \quad k \in \mathbb{R} \qquad (a \in I \text{ fissato a piacere})$$ Questo esprime l'integrale indefinito con un integrale definito. A noi però serve soprattutto il contrario: usare le primitive per calcolare gli integrali definiti (che con le somme di Cauchy-Riemann è impraticabile).

Teorema fondamentale del calcolo integrale 1 (TFCI 1)

Sia $f \in C(I)$ e sia $G \in C^1(I)$ una qualsiasi primitiva di $f$. Allora per ogni $[a, b] \subseteq I$ $$\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a) = \Big[G(x)\Big]_{x=a}^{x=b}$$

Il simbolo $\big[G(x)\big]_a^b$ significa "$G$ calcolata in $b$ meno $G$ calcolata in $a$".

Dimostrazione. Per il TFCI 2, anche $F_a(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ è una primitiva di $f$. Per la Proposizione 1 esiste $k$ con $$G(x) = \int_a^x f(t)\,dt + k \qquad \forall x \in I$$

1. In $x = a$: $G(a) = \int_a^a f(t)\,dt + k = 0 + k$, quindi $k = G(a)$.
2. In $x = b$: $G(b) = \int_a^b f(t)\,dt + G(a)$, cioè $\int_a^b f(t)\,dt = G(b) - G(a)$ ∎.

Perché "qualsiasi" primitiva: con $G + k$ al posto di $G$ si ha $(G(b) + k) - (G(a) + k) = G(b) - G(a)$: la costante si cancella. Si sceglie quindi la primitiva più comoda, di solito con $k = 0$.

Come si usa

Esempio. Calcolare $\int_1^3 x^2\,dx$, cioè l'area della regione tra l'asse $x$ e la parabola $y = x^2$ per $x \in [1, 3]$.

Una primitiva di $x^2$ è $G(x) = \frac13 x^3$. Per il TFCI 1 $$\int_1^3 x^2\,dx = \left[\frac13 x^3\right]_{x=1}^{x=3} = \frac13 \cdot 27 - \frac13 \cdot 1 = \frac13(27 - 1) = \frac{26}{3}$$ Con le somme di Cauchy-Riemann sarebbe servita la formula della somma dei quadrati; qui bastano due righe.

Lo schema per un integrale definito:

1. si calcola l'integrale indefinito per trovare una primitiva $G$;
2. si applica il TFCI 1: $\int_a^b f = G(b) - G(a)$.

Primitive di funzioni definite a tratti (lezione 41)

Se $f$ è definita con formule diverse su due intervalli, per esempio $f = f_1$ per $x < c$ e $f = f_2$ per $x \ge c$, e $f$ è continua, una sua primitiva deve essere continua (anzi derivabile). Non basta prendere una primitiva $F_1$ di $f_1$ e una $F_2$ di $f_2$ e incollarle: in $x = c$ potrebbero non combaciare.

Metodo.

1. Si trovano $F_1$ (primitiva di $f_1$) e $F_2$ (primitiva di $f_2$).
2. Si pone $$F(x) = \begin{cases} F_1(x) & x < c \\ F_2(x) + K & x \ge c \end{cases}$$ e si sceglie la costante $K$ in modo che $F$ sia continua in $c$: $F_1(c) = F_2(c) + K$, cioè $K = F_1(c) - F_2(c)$.
3. Tutte le primitive sono allora $F(x) + h$, $h \in \mathbb{R}$ (Proposizione 1, sull'intervallo intero).
4. Se si chiede la primitiva che in un punto $x_0$ vale $y_0$, si impone $F(x_0) + h = y_0$ e si ricava $h$.

Perché si sposta solo il secondo pezzo: alzare o abbassare $F_2$ di $K$ non cambia la derivata (è sempre $f_2$), ma permette di "attaccare" i due pezzi. Esempio completo in Esercizio 147 · integrale e primitive di una funzione con il modulo.

La primitiva che vale $y_0$ in $x_0$ (lezione 44)

Per il TFCI 2, la funzione integrale di centro $x_0$, $F_{x_0}(x) = \int_{x_0}^x f(t)\,dt$, è la primitiva di $f$ che in $x_0$ vale $0$ ($\int_{x_0}^{x_0} f = 0$). Quindi la primitiva con $F(x_0) = y_0$ è $$F(x) = \int_{x_0}^x f(t)\,dt + y_0$$ In pratica: si trova una primitiva $G$ qualsiasi e si scrive $F(x) = G(x) - G(x_0) + y_0$. Esempio: Esercizio 159 · primitiva con una condizione e derivata di una funzione integrale.

Derivata di $\int_a^{g(x)} f(t)\,dt$ (lezione 44)

Una funzione come $$F(x) = \int_1^{3x + x^3} t^2\log(2 + t^2)\,dt$$ non è una funzione integrale (l'estremo superiore non è $x$), ma è la composta di una funzione integrale con $g(x) = 3x + x^3$: posto $G(y) = \int_1^y f(t)\,dt$, si ha $F(x) = G(g(x))$. Per la regola della catena e il TFCI 2 ($G' = f$): $$F'(x) = G'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))\cdot g'(x)$$ Così si studia la monotonia di $F$ senza calcolare l'integrale. Esempio nello stesso esercizio.

Le derivate danno gli integrali

Se $f \in C^1(I)$, per definizione $f$ è una primitiva di $f'$: $$\int f'(x)\,dx = f(x) + k, \quad k \in \mathbb{R}$$ Quindi ogni derivata nota, letta "al contrario", dà un integrale: sono gli Integrali immediatiTabella degli integrali immediati, ottenuti leggendo al contrario le derivate delle funzioni elementari: potenze, 1/x, esponenziali, seno e coseno, tangente, arcoseno, arcotangente, funzioni iperboliche e loro inverse. Per gli integrali non ci sono regole come per le derivate, solo metodi: linearità, sostituzione, per parti.Integrali immediati →.

Errori comuni

• Dimenticare $+ k$ nell'integrale indefinito: il risultato è un insieme di funzioni, non una sola.
• Confondere integrale definito e indefinito: il primo è un numero, il secondo un insieme di funzioni.
• Applicare il TFCI 1 a funzioni non continue sull'intervallo (per esempio $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx$: $\frac1{x^2}$ non è nemmeno definita in $0$, e la formula darebbe un risultato negativo, assurdo per una funzione positiva).