Lezione 19Teoremi sui limiti di funzioni e o-piccolo

Data: giovedì 30 ottobre 2025 · Videolezione: n. 21 della playlist ("Lezione 19", 48 min)

Argomenti trattati

1. Teoremi generali sui limiti di funzione, dedotti da quelli per le successioni con il teorema ponte: unicità (con dimostrazione), criterio di non esistenza ($\sin\frac1x$ in $0$), limitatezza locale ($\tan x$ vicino a $\frac{\pi}{4}$), limiti delle funzioni monotone.
2. Teoremi di calcolo: algebra dei limiti, permanenza del segno (due forme), confronto, infinitesima per limitata ($x\sin\frac1x$), algebra parziale degli infiniti, reciproco (serve $0^\pm$), forme indeterminate.
3. Asintoticità e o-piccolo per $x \to x_0$: le relazioni dipendono da $x_0$ ($x^2$ e $x^4$, $x$ e $\sin x$); proprietà; algebra degli o-piccoli e $o(1)$.
4. Gerarchia delle funzioni infinite per $x \to +\infty$ e primi esercizi del foglio (7 e 8).

Teoria

• Teoremi sui limiti di funzioniUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni →
• Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →

Esercizi

• Esercizio 53 · sin(1/x), x sin(1/x) e il criterio di non esistenza — esempi della lezione
• Esercizio 54 · limite con a^x+1) - 4^x-1) al variare di a — esercizio 7
• Esercizio 55 · (3+x)²/log x) e il logaritmo asintotico — esercizio 8