Lezione 42Criteri di convergenza per gli integrali impropri

Data: giovedì 11 dicembre 2025 · Videolezione: n. 43 della playlist ("Lezione 42")

Argomenti trattati

1. Proprietà fondamentale per $f \ge 0$: l'integrale improprio esiste sempre, finito o $+\infty$ (con dimostrazione, tramite la funzione integrale crescente). Legame con lo studio delle funzioni integrali (asintoti, prolungamenti); funzioni che esistono solo come funzioni integrali.
2. Teorema del confronto e teorema del confronto asintotico, con dimostrazione; basta che le ipotesi valgano definitivamente.
3. Funzioni test $\frac{1}{x^\alpha}$: su $[1, +\infty[$ convergono per $\alpha > 1$, su $]0, 1]$ per $\alpha < 1$.
4. Criteri su $[a, +\infty[$: condizione necessaria $\lim f = 0$ (se il limite esiste), con dimostrazione; corollario del confronto asintotico (punti A, B, C).
5. Primi esercizi (foglio, esercizi 2-4).

Teoria

• Integrali impropriL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri → — perché interessano: le funzioni integrali
• Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →

Esercizi

• Esercizio 149 · convergenza di integrali impropri al variare di a — esercizi 2 e 3
• Esercizio 150 · integrali impropri con esponenziale e logaritmo — esercizio 4