Esercizio 45confronto tra eⁿ² e nⁿ

Testo (Lezione 17, esercizio 16 del foglio vecchio). Calcolare

$$L = \lim_n \frac{e^{n^2} - n^n}{e^{n^2 - n} + 3^{2n}}$$

Passo 0: dove sta la trappola

Numeratore: $e^{n^2} \to +\infty$ e $n^n \to +\infty$, forma $+\infty - \infty$. Bisogna capire chi è l'infinito di ordine superiore tra $e^{n^2}$ e $n^n$, e qui la gerarchia "a memoria" può ingannare.

Attenzione (la prof lo segnala): nella gerarchia $n^n$ è il più grande della lista, ma $e^{n^2}$ non è nella lista: non è un esponenziale $a^n$ (l'esponente è $n^2$, non $n$). Scrivere "$e^{n^2} = o(n^n)$ per la gerarchia" è falso. È vero il contrario: $n^n = o(e^{n^2})$.

Passo 1: confrontare $n^n$ ed $e^{n^2}$ con la forma esponenziale

Il trucco è scrivere tutto come potenza di $e$: per ogni $A > 0$, $A = e^{\log A}$, e per le proprietà del logaritmo $\log(n^n) = n\log n$. Quindi

$$\frac{n^n}{e^{n^2}} = \frac{e^{n\log n}}{e^{n^2}} = e^{n\log n - n^2}$$

Ora basta capire dove va l'esponente:

$$n\log n - n^2 = -n^2\left[1 - \frac{\log n}{n}\right] \to (-\infty) \cdot 1 = -\infty$$

perché $\frac{\log n}{n} \to 0$ per la gerarchia degli infinitiIl logaritmo, anche elevato a una potenza, è trascurabile rispetto a qualunque potenza positiva di n.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →. Quindi

$$\lim_n \frac{n^n}{e^{n^2}} = e^{-\infty} = 0 \qquad (\text{il grafico di } e^x \text{ va a } 0 \text{ per } x \to -\infty)$$

cioè $n^n = o\left(e^{n^2}\right)$.

In parole: $n^n = e^{n\log n}$ ed $e^{n^2}$ sono entrambi "$e$ elevato a qualcosa"; vince chi ha l'esponente più grande, e $n^2$ batte $n\log n$.

Passo 2: il numeratore

$$\text{NUM} = e^{n^2}\left[1 - \frac{n^n}{e^{n^2}}\right] \sim e^{n^2}$$

perché la parentesi tende a $1 - 0 = 1$.

Passo 3: il denominatore

Anche qui c'è una trappola: $3^{2n} = 9^n$ è un esponenziale, mentre $e^{n^2 - n}$ ha l'esponente quadratico. È falso che $e^{n^2 - n} = o(9^n)$; è vero il contrario. Con la forma esponenziale ($9^n = e^{n\log 9}$):

$$\frac{9^n}{e^{n^2 - n}} = e^{n\log 9 - n^2 + n}$$

e l'esponente $-n^2 + n(1 + \log 9) = -n^2 + o(n^2) \to -\infty$. Quindi $9^n = o\left(e^{n^2 - n}\right)$ e

$$\text{DEN} = e^{n^2 - n}\left[1 + e^{n\log 9 - n^2 + n}\right] \sim e^{n^2 - n}$$

Passo 4: conclusione

Sostituendo numeratore e denominatore con i loro asintoticiIn un quoziente ogni fattore si può sostituire con una successione asintotica senza cambiare il limite.Asintoticità e o-piccolo →:

$$L = \lim_n \frac{e^{n^2}}{e^{n^2 - n}} = \lim_n e^{n^2 - (n^2 - n)} = \lim_n e^n = +\infty$$

Verifica numerica. Con $n = 10$ il quoziente vale circa $22\,026 = e^{10}$, con $n = 20$ circa $4{,}85 \cdot 10^8 = e^{20}$ ✓ (i termini trascurati sono già invisibili).

Il metodo da ricordare

Quando ci sono potenze con la $n$ sia nella base sia nell'esponente (come $n^n$), o esponenziali con esponenti non lineari (come $e^{n^2}$), si scrive tutto nella forma $e^{\text{qualcosa}}$ e si confrontano gli esponenti.

Errori comuni

• Applicare la gerarchia a successioni che non ne fanno parte: $e^{n^2}$ non è un "esponenziale $a^n$", cresce molto più in fretta (anche di $n^n$ e di $n!$).
• Semplificare male gli esponenti: $\frac{e^{n^2}}{e^{n^2 - n}} = e^{n^2 - n^2 + n} = e^n$ (attenzione al segno di $-n$ dentro la parentesi).