Integrazione per parti

Lezione 39 (capitolo 6, paragrafo 5). Prerequisiti: Integrali immediatiTabella degli integrali immediati, ottenuti leggendo al contrario le derivate delle funzioni elementari: potenze, 1/x, esponenziali, seno e coseno, tangente, arcoseno, arcotangente, funzioni iperboliche e loro inverse. Per gli integrali non ci sono regole come per le derivate, solo metodi: linearità, sostituzione, per parti.Integrali immediati →, Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →. Esercizi: Esercizio 133 · integrali per parti di log x, arcsin x e arctan x, Esercizio 134 · quadrati e potenze di seno, coseno e funzioni iperboliche, Esercizio 136 · per parti con x² e^-x ed e^3x sin x.

La formula

Siano $f, g \in C^1([a, b])$. Allora

(1) $$\int f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x) - \int f'(x)\,g(x)\,dx$$

(1') $$\int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx = \Big[f(x)\,g(x)\Big]_{x=a}^{x=b} - \int_a^b f'(x)\,g(x)\,dx$$

Come si legge: nell'integranda si sceglie un fattore da derivare ($f$) e uno da integrare ($g'$, di cui si deve conoscere una primitiva $g$). Il prezzo è un nuovo integrale, $\int f' g$, che deve essere più facile di quello di partenza.

Dimostrazione di (1). Per la regola di derivazione del prodotto $$D\big(f(x)\,g(x)\big) = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x)$$ Si integrano entrambi i membri in modo indefinito. Anche l'integrale indefinito è lineare (lo è la derivata; oppure: per il TFCI 2, $\int f\,dx = \int_a^x f(t)\,dt + k$, e l'integrale definito è lineare): $$\int D\big(f(x)\,g(x)\big)\,dx = \int f'(x)\,g(x)\,dx + \int f(x)\,g'(x)\,dx$$ A sinistra c'è l'integrale di una derivata, cioè $f(x)\,g(x) + k$. Portando $\int f' g$ a sinistra si ottiene la (1); la costante $k$ è "compresa" nell'integrale indefinito che resta ∎. La (1') segue dalla (1) e dal TFCI 1.

Quando si usa

Prima si prova la sostituzione. Se non funziona, si prova per parti. Ci sono tre classi tipiche di funzioni.

Classe 1: funzioni elementari che non sono integrali immediati

$\log x$, $\arcsin x$, $\arctan x$ non compaiono nella tabella degli integrali immediati (sono derivate facili, ma nessuna funzione elementare nota ha loro come derivata). Il trucco è scrivere la funzione come prodotto per $1$: $f$ = la funzione (che ha derivata semplice), $g' = 1$ (con $g = x$).

Esempio: $\int \log x\,dx$. $f = \log x$, $g' = 1$, quindi $f' = \frac1x$, $g = x$: $$\int \log x \cdot 1\,dx = \log x \cdot x - \int \frac1x \cdot x\,dx = x\log x - \int 1\,dx = x\log x - x + k = x(\log x - 1) + k$$ Perché funziona: derivando, il logaritmo diventa $\frac1x$, che si semplifica con la $x$ di $g$. Altri due esempi in Esercizio 133 · integrali per parti di log x, arcsin x e arctan x.

Classe 2: integrali "circolari" (quadrati di seno, coseno, sinh, cosh)

Esempio: $\int \cos^2 x\,dx$. $\cos^2 x = \cos x \cdot \cos x$: $f = \cos x$, $g' = \cos x$, quindi $f' = -\sin x$, $g = \sin x$: $$\int \cos^2 x\,dx = \cos x\sin x - \int (-\sin x)\sin x\,dx = \cos x\sin x + \int \sin^2 x\,dx$$ Sembra di non aver guadagnato niente ($\sin^2$ al posto di $\cos^2$). Ma con $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$\int \cos^2 x\,dx = \cos x\sin x + \int (1 - \cos^2 x)\,dx = \cos x\sin x + x - \int \cos^2 x\,dx$$ L'integrale di partenza ricompare a destra con il segno meno: è un integrale circolare. Lo si porta a sinistra come un'incognita in un'equazione: $$2\int \cos^2 x\,dx = x + \sin x\cos x + k \qquad \Longrightarrow \qquad \int \cos^2 x\,dx = \frac{x + \sin x\cos x}{2} + k$$ (la costante, divisa per $2$, è ancora una costante arbitraria, e si continua a chiamarla $k$).

Attenzione: se a destra l'integrale ricomparisse con il segno più e coefficiente $1$, si cancellerebbe con quello a sinistra e non si otterrebbe nulla.

Con lo stesso metodo (per $\sinh$ e $\cosh$ si usa $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$):

Per le potenze più alte di seno e coseno: Integrali di potenze di seno e cosenoPer ∫ cos^n x · sin^m x dx: se un esponente è dispari si stacca un fattore (sin x oppure cos x), il resto si scrive con l'altra funzione usando sin²+cos² = 1 e si sostituisce y = cos x (o y = sin x); se sono entrambi pari si usano le formule di bisezione cos²x = (1+cos 2x)/2, sin²x = (1−cos 2x)/2 per abbassare il grado.Integrali di potenze di seno e coseno →.

Classe 3: prodotti di funzioni elementari diverse

Integrali come $$\int e^{\alpha x}\sin(\beta x)\,dx, \quad \int e^{\alpha x}\cos(\beta x)\,dx, \quad \int x^n e^{\alpha x}\,dx, \quad \int x^n\sin(\beta x)\,dx, \quad \int x^n\cos(\beta x)\,dx$$ non si fanno per sostituzione (nessuno dei due fattori è la derivata di una funzione dentro l'altro).

• $x^n$ per esponenziale/seno/coseno: si deriva il polinomio ($f = x^n$) e si integra l'altro fattore. A ogni passaggio il grado scende di $1$: dopo $n$ passaggi per parti il polinomio sparisce. Esempio: $\int x^2 e^{-x}\,dx$ in Esercizio 136 · per parti con x² e^-x ed e^3x sin x.
• Esponenziale per seno/coseno: derivando o integrando, nessuno dei due si semplifica, ma dopo due passaggi per parti (scegliendo sempre lo stesso tipo di fattore da derivare) ricompare l'integrale di partenza: è di nuovo un integrale circolare. Esempio: $\int e^{3x}\sin x\,dx$ nello stesso esercizio.

Errori comuni

• Scegliere male $f$ e $g'$: se $\int f' g$ è più difficile dell'integrale di partenza, si scambia la scelta. Per esempio in $\int x e^x\,dx$ con $f = e^x$, $g' = x$ si arriva a $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$, peggio di prima.
• Negli integrali circolari, cambiare scelta al secondo passaggio (derivare l'esponenziale la prima volta e il seno la seconda): si torna indietro e si ottiene l'identità inutile $I = I$.
• Dimenticare il segno meno davanti a $\int f' g$.