Esercizio 66ordine di infinitesimo di una successione con esponenziale e arcoseno

Testo (Lezione 23, esercizio 14 del foglio). Data, per $a > 0$,

$$a_n = \left(e^{\frac{1}{n^3 - 3n + 1}} - 1\right)\arcsin\left(\frac{1}{n^a}\right)$$

• (a) determinare l'ordine di infinito o di infinitesimo di $(a_n)$;
• (b) calcolare $\lim_n a_n \cdot n$.

Teoria: Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo →, Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →.

(a) L'ordine

Per trovare l'ordine bisogna capire a quale potenza $\frac{\ell}{n^\alpha}$ (o $\ell\,n^\alpha$) è asintotica $a_n$. È un prodotto di due fattori, $F_1 = e^{\frac{1}{n^3 - 3n + 1}} - 1$ e $F_2 = \arcsin\frac{1}{n^a}$: si trova l'asintotico di ciascuno.

Il fattore $F_1$

L'esponente $y = \frac{1}{n^3 - 3n + 1} \to 0$ (il denominatore va a $+\infty$). Dal limite notevole $e^y - 1 \sim y$ per $y \to 0$:

$$F_1 \sim \frac{1}{n^3 - 3n + 1} = \frac{1}{n^3 + o(n^3)} \sim \frac{1}{n^3}$$

Il fattore $F_2$

L'argomento $y = \frac{1}{n^a} \to 0$ perché $a > 0$. Dal limite notevole $\arcsin y \sim y$ per $y \to 0$:

$$F_2 \sim \frac{1}{n^a}$$

Il prodotto

Nei prodotti si sostituisce:

$$a_n \sim \frac{1}{n^3} \cdot \frac{1}{n^a} = \frac{1}{n^{3 + a}}$$

Quindi $a_n \to 0$ ed è infinitesima di ordine $\alpha = 3 + a$ (con $\ell = 1$). Per esempio con $a = 1$ l'ordine è $4$: $a_n$ va a zero come $\frac{1}{n^4}$.

(b) $\lim_n a_n \cdot n$

$$\lim_n a_n \cdot n = \lim_n \frac{n}{n^{3 + a}} = \lim_n \frac{1}{n^{2 + a}} = 0$$

perché $2 + a > 0$ per ogni $a > 0$. (In generale, se $a_n$ è infinitesima di ordine $\alpha$, allora $n^\beta a_n \to 0$ per $\beta < \alpha$, tende a $\ell$ per $\beta = \alpha$ e va all'infinito per $\beta > \alpha$: qui $\beta = 1 < 3 + a$.)

Errori comuni

• Dimenticare la condizione $a > 0$: serve perché $\frac{1}{n^a} \to 0$ e si possa usare il limite notevole dell'arcoseno.
• Moltiplicare gli esponenti: $\frac{1}{n^3} \cdot \frac{1}{n^a} = \frac{1}{n^{3 + a}}$ (nel prodotto di potenze con la stessa base gli esponenti si sommano), non $\frac{1}{n^{3a}}$.