Integrali di potenze di seno e coseno

Lezione 39 (digressione nel paragrafo 5 del capitolo 6). Prerequisiti: Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →, Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti → (per $\int \cos^2$ e $\int \sin^2$). Esercizi: Esercizio 134 · quadrati e potenze di seno, coseno e funzioni iperboliche, Esercizio 135 · cos⁴ x sin² x e sin⁴ x cos³ x.

Si considerano gli integrali $$\int \cos^n x\,\sin^m x\,dx, \qquad n, m \in \mathbb{N}.$$ La strategia dipende dalla parità degli esponenti.

Caso 1: almeno un esponente dispari

Se, per esempio, $m$ è dispari (e $m \ge 1$), si stacca un fattore $\sin x$: resta $\sin^{m-1} x$ con $m - 1$ pari, che si scrive con il coseno grazie a $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$\int \cos^n x\,\sin^m x\,dx = \int \cos^n x\,\underbrace{(\sin^2 x)^{\frac{m-1}{2}}}_{(1 - \cos^2 x)^{\frac{m-1}{2}}}\,\sin x\,dx$$ Ora c'è "una funzione di $\cos x$, per $\sin x$", cioè (a meno del segno) per la derivata di $\cos x$: si sostituisce $y = \cos x$, $dy = -\sin x\,dx$, e resta l'integrale di un polinomio in $y$.

Se invece è $n$ dispari, si stacca un $\cos x$, si usa $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ e si sostituisce $y = \sin x$, $dy = \cos x\,dx$.

Perché funziona: il fattore staccato diventa il $dy$ della sostituzione, e l'esponente rimasto è pari, quindi si può scrivere tutto con l'altra funzione.

Esempio: $\int \sin^3 x\,dx$ ($n = 0$, $m = 3$ dispari). $$\int \sin^3 x\,dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\,dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx$$ Con $y = \cos x$, $dy = -\sin x\,dx$ (quindi $\sin x\,dx = -dy$): $$= -\int (1 - y^2)\,dy = -y + \frac{y^3}{3} + k = -\cos x + \frac13\cos^3 x + k$$

Caso 2: esponenti entrambi pari

Qui non si può staccare un fattore e avere un esponente pari. Si usano le formule di bisezione (dalle formule di duplicazione $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$): $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}, \qquad \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$ (sono le formule $\cos x = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos 2x}{2}}$, $\sin x = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos 2x}{2}}$ elevate al quadrato, e così il $\pm$ sparisce).

Sostituendo, il grado si dimezza (al prezzo di avere $\cos(2x)$ al posto di $\cos x$). Si ripete finché si arriva a integrali noti: $\int \cos(2x)\,dx = \frac12\sin(2x)$, $\int \cos^2(2x)\,dx$ (notevole, con $y = 2x$), oppure potenze dispari (caso 1).

Esempio: $\int \cos^4 x\,dx$. $$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 = \frac14\left(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x\right)$$ quindi $$\int \cos^4 x\,dx = \frac14 x + \frac12\int \cos 2x\,dx + \frac14\int \cos^2 2x\,dx$$

• $\int \cos 2x\,dx$: con $y = 2x$, $dx = \frac12 dy$, vale $\frac12\sin 2x$.
• $\int \cos^2 2x\,dx$: con $y = 2x$, $dx = \frac12 dy$, vale $\frac12\int \cos^2 y\,dy = \frac12\cdot\frac{y + \sin y\cos y}{2} = \frac{2x + \sin 2x\cos 2x}{4}$ (integrale notevole di Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →).

$$\int \cos^4 x\,dx = \frac14 x + \frac14\sin 2x + \frac{1}{16}\left(2x + \sin 2x\cos 2x\right) + k$$ Semplificando ($\frac14 x + \frac18 x = \frac38 x$ e $\sin 2x\cos 2x = \frac12\sin 4x$): $\frac38 x + \frac14\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + k$.

Riassunto

Errori comuni

• Usare la bisezione quando un esponente è dispari: funziona, ma è molto più lungo della sostituzione.
• Dimenticare il fattore $\frac12$ quando si integra $\cos(2x)$ (con $y = 2x$, $dx = \frac12 dy$).