Esercizio 84studio di x² e^-1/x) fino alla derivata prima

Testo (Lezione 30, esercizio 16 del foglio 12-14/11). Studiare, fino a $f'$, la funzione $$f(x) = x^2 e^{-\frac1x}$$

Teoria: Studio di funzioneLo schema dello studio di funzione: (a) dominio, simmetrie, periodicità, segno; (b) limiti alla frontiera, asintoti, prolungamenti; (c) f': monotonia, massimi e minimi, inf e sup, derivabilità (limiti di f' nei punti delicati); (d) f'': convessità e flessi. I limiti di f' si calcolano dove f è continua ma f' non è definita, negli estremi del dominio e dove f ha un limite finito senza essere definita: danno la pendenza con cui il grafico arriva.Studio di funzione →, Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →, Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi →.

(a) Dominio, simmetrie, segno

• Dominio: l'unica condizione è $x \ne 0$ (per $\frac1x$). Dominio $= \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Simmetrie: il dominio è simmetrico, ma $f(-x) = x^2 e^{\frac1x}$ non è né $f(x)$ né $-f(x)$: nessuna simmetria evidente.
• Segno: $x^2 > 0$ per $x \ne 0$ e l'esponenziale è sempre positivo, quindi $f(x) > 0$ per ogni $x$ del dominio. Il grafico sta tutto sopra l'asse $x$.

(b) Limiti alla frontiera e asintoti

La frontiera è fatta di $-\infty$, $+\infty$, $0^-$, $0^+$.

A $\pm\infty$. $-\frac1x \to 0$, quindi $e^{-1/x} \to e^0 = 1$, e $$\lim_{x \to \pm\infty} x^2 e^{-\frac1x} = +\infty\cdot 1 = +\infty$$

Asintoti obliqui? Si calcola $\frac{f(x)}{x} = x\,e^{-1/x}$: $$\lim_{x \to -\infty} x\,e^{-\frac1x} = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} x\,e^{-\frac1x} = +\infty$$ Il rapporto non tende a un numero finito: $f$ è superlineare a $-\infty$ e a $+\infty$ (cresce più in fretta di ogni retta), e non ci sono asintoti obliqui.

In $0^-$. $x^2 \to 0$, e $-\frac1x \to -\frac{1}{0^-} = +\infty$, quindi $e^{-1/x} \to +\infty$: forma $0\cdot\infty$. Si sostituisce $y = -\frac1x \to +\infty$, cioè $x = -\frac1y$ e $x^2 = \frac{1}{y^2}$: $$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-\frac1x} = \lim_{y \to +\infty}\frac{e^y}{y^2} = +\infty$$ per la gerarchia degli infinitiAll'infinito l'esponenziale cresce più in fretta di qualunque potenza: e^y/y^a tende a +∞ per ogni a.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →. Quindi $x = 0$ è asintoto verticale da sinistra.

In $0^+$. Ora $-\frac1x \to -\frac{1}{0^+} = -\infty$, quindi $e^{-1/x} \to e^{-\infty} = 0$. Non c'è forma indeterminata: $$\lim_{x \to 0^+} x^2 e^{-\frac1x} = 0\cdot 0 = 0 = f(0^+) \in \mathbb{R}$$

In $0$ niente prolungamento per continuità: da sinistra $f \to +\infty$, da destra $f \to 0$. Il grafico, da destra, arriva nell'origine (che non gli appartiene).

(c) Derivata prima

Calcolo

Regola del prodotto e della catena ($D e^{-1/x} = e^{-1/x}\cdot D\left(-\frac1x\right) = e^{-1/x}\cdot\frac{1}{x^2}$): $$f'(x) = 2x\,e^{-\frac1x} + x^2 e^{-\frac1x}\cdot\frac{1}{x^2} = e^{-\frac1x}(2x + 1) \qquad \forall x \ne 0$$

Segno e monotonia

$e^{-1/x} > 0$ sempre, quindi $f'(x) \ge 0 \iff 2x + 1 \ge 0 \iff x \ge -\frac12$.

$$\begin{array}{c|ccccc} x & & -\tfrac12 & & 0 & \\ \hline f' & - & 0 & + & \nexists & + \\ f & \searrow & \text{min rel.} & \nearrow & \nexists & \nearrow \end{array}$$

• $f$ è strettamente decrescente in $\left]-\infty, -\frac12\right]$, strettamente crescente in $\left[-\frac12, 0\right[$ e in $]0, +\infty[$ (separatamente: su tutto $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ non è crescente, perché il dominio non è un intervallo e infatti vicino a $0^-$ i valori sono enormi, vicino a $0^+$ piccoli);
• $x = -\frac12$ è un punto di minimo relativo stretto, con $f\left(-\frac12\right) = \frac14 e^{2} \approx 1{,}85$;
• nessun minimo assoluto: per $x \to 0^+$ i valori tendono a $0$ senza mai raggiungerlo ($f > 0$), quindi $\inf f = 0$ e non è un minimo;
• nessun massimo, né relativo né assoluto: $\sup f = +\infty$.

Con che pendenza il grafico arriva nell'origine

$0$ non è nel dominio, ma esiste finito $f(0^+) = 0$: è il caso 3 dello Studio di funzioneLo schema dello studio di funzione: (a) dominio, simmetrie, periodicità, segno; (b) limiti alla frontiera, asintoti, prolungamenti; (c) f': monotonia, massimi e minimi, inf e sup, derivabilità (limiti di f' nei punti delicati); (d) f'': convessità e flessi. I limiti di f' si calcolano dove f è continua ma f' non è definita, negli estremi del dominio e dove f ha un limite finito senza essere definita: danno la pendenza con cui il grafico arriva.Studio di funzione →. Il limite di $f'$ dà la pendenza con cui il grafico arriva nel punto $(0, 0)$: $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} e^{-\frac1x}(2x + 1) = e^{-\infty}\cdot 1 = 0$$ Il grafico arriva nell'origine con tangente orizzontale ($m = 0$): molto schiacciato sull'asse $x$.

(Da sinistra non ha senso: $f \to +\infty$.)

Grafico

A sinistra: scende da $+\infty$ fino al minimo in $x = -\frac12$, poi risale verso $+\infty$ lungo l'asintoto verticale $x = 0$. A destra: parte dall'origine (esclusa) con tangente orizzontale e cresce senza limite.

Verifica (con Python): $f'(x) = e^{-1/x}(2x + 1)$ e $f(-\frac12) = \frac{e^2}{4} \approx 1{,}847$ ✓.

Errori comuni

• Dire che $0$ è il minimo assoluto: $0$ non è nemmeno nel dominio; $\inf f = 0$ non è raggiunto.
• Confondere i limiti in $0^-$ e $0^+$: il segno di $-\frac1x$ cambia, e con lui il comportamento dell'esponenziale.
• Dire che $f$ è crescente su $\left[-\frac12, +\infty\right[ \setminus \{0\}$: il test di monotonia vale su un intervallo alla volta.