Lezione 27Teorema di de l'Hôpital e limite della derivata

Data: giovedì 13 novembre 2025 · Videolezione: n. 28 della playlist ("Lezione 27", 1h38)

Argomenti trattati

1. Teorema di de l'Hôpital per le forme $\frac00$ e per denominatore infinito (dimostrazione in un caso semplice); vale anche per limiti destri e sinistri; se $\lim\frac{f'}{g'}$ non esiste non si conclude nulla (esempio $\frac{3x - 2\cos x}{x + \sin x}$).
2. Prima applicazione, il calcolo di limiti: $\log^p x = o(x^\alpha)$ (esercizio 8); una forma $1^\infty$ risolta in tre modi, con de l'Hôpital, con uno sviluppo e de l'Hôpital, con soli sviluppi (esercizio 9); un limite con esponenziali in cui de l'Hôpital non serve (esercizio 10).
3. Seconda applicazione, la derivabilità: corollario sul limite della derivata, con la dimostrazione; perché serve la continuità; $x^2\sin\frac1x$ è derivabile in $0$ ma $f'$ non è continua (esercizio 11).
4. Funzioni di classe $C^0$ e $C^1$; per quali $a$ la funzione $|x|^a\sin\frac1x$ è continua, derivabile, $C^1$ (esercizio 13).
5. Ancora sviluppi di Mac-Laurin: limite con un parametro e con $x^3\log^4 x$ (esercizio 3 del foglio 12-14/11).

Teoria

• Teorema di de l'HôpitalPer una forma 0/0 o ·/∞, se esiste il limite di f'/g' allora esiste anche quello di f/g ed è lo stesso. Vale anche per limiti destri, sinistri e all'infinito. Se il limite di f'/g' non esiste non si può concludere nulla. Serve a calcolare limiti (da solo o dopo uno sviluppo di Mac-Laurin) e a studiare la derivabilità.Teorema di de l'Hôpital →
• Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata → — con le classi $C^0$ e $C^1$
• Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato → — l'esempio della funzione con un salto

Esercizi

• Esercizio 76 · de l'Hôpital per la gerarchia e per una forma 1^∞ — esercizi 8 e 9
• Esercizio 77 · limite con 2^x2 log x) e x^x2 — esercizio 10
• Esercizio 79 · x² sin(1/x) e modulo di x alla a per sin(1/x) — esercizi 11 e 13
• Esercizio 78 · limite con x^α, x³ log⁴ x e sin² x — esercizio 3