Lezione 45Introduzione alle equazioni differenziali e lineari del primo ordine

Data: mercoledì 17 dicembre 2025 · Videolezione: n. 46 della playlist ("Lezione 45", 1h39)

Argomenti trattati

1. Osservazione conclusiva sugli integrali: derivata di $\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt$ con entrambi gli estremi variabili.
2. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: che cosa sono; $y'' = 5$ risolta integrando due volte, con le due condizioni iniziali; il metodo per $y^{(n)} = f(t)$; i modelli di Malthus e dell'oscillatore armonico smorzato; definizione di equazione di ordine $n$ e di integrale generale; problema di Cauchy e intervallo massimale.
3. Equazioni lineari del primo ordine $y' + a(t)y = b(t)$: come riconoscerle; teorema di esistenza e unicità globale; metodo risolvente con il fattore integrante (con dimostrazione); caso omogeneo; soluzione del modello di Malthus.
4. Esercizi del foglio: equazioni lineari del primo ordine con condizione iniziale (esercizi 1, 2, 4); un'equazione del secondo ordine senza $y$ ridotta al primo ordine con $v = y'$ (esercizio 3).
5. Inizio delle equazioni del secondo ordine: forma generale e problema di Cauchy con due condizioni iniziali.

Teoria

• Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale → — paragrafo "Con entrambi gli estremi variabili"
• Equazioni differenziali - introduzione e problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy →
• Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →

Esercizi

• Esercizio 160 · y' + 2ty = t e^-t2 e y' = ty su (t²+1) — esercizi 1 e 4
• Esercizio 161 · y' - y/t = radice di t e un'equazione del secondo ordine senza y — esercizi 2 e 3