Esercizio 77limite con 2^x2 log x) e x^x2

Testo (Lezione 27, esercizio 10 del foglio). Calcolare $$\lim_{x \to +\infty}\frac{2^{x^2\log x} - x^{x^2}}{x^{\log 3\cdot x^2} - 3^x\cdot x^x}$$

Teoria: Teorema di de l'HôpitalPer una forma 0/0 o ·/∞, se esiste il limite di f'/g' allora esiste anche quello di f/g ed è lo stesso. Vale anche per limiti destri, sinistri e all'infinito. Se il limite di f'/g' non esiste non si può concludere nulla. Serve a calcolare limiti (da solo o dopo uno sviluppo di Mac-Laurin) e a studiare la derivabilità.Teorema di de l'Hôpital → (quando non usarlo), Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →, Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →.

Perché non de l'Hôpital

Sopra e sotto ci sono differenze di funzioni che vanno entrambe a $+\infty$: forme $+\infty - \infty$. Prima ancora di pensare al quoziente bisogna capire chi vince in ciascuna differenza. E derivare esponenziali con esponenti come $x^2\log x$ produce espressioni più complicate: de l'Hôpital qui non aiuta.

L'idea è un'altra: scrivere tutto come esponenziale in base $e$, così si confrontano solo gli esponenti.

Tutto in base $e$

Si usa $a^b = e^{b\log a}$ (per $a > 0$):

• $2^{x^2\log x} = e^{\log 2\cdot x^2\log x}$;
• $x^{x^2} = e^{x^2\log x}$;
• $x^{\log 3\cdot x^2} = e^{\log 3\cdot x^2\log x}$;
• $3^x\cdot x^x = e^{x\log 3}\cdot e^{x\log x} = e^{x\log 3 + x\log x}$.

I tre numeri da confrontare. Siccome $1 < 2 < e < 3$ e il logaritmo è crescente: $$\log 1 = 0 \;<\; \log 2 \;<\; \log e = 1 \;<\; \log 3$$ ($\log 2 \approx 0{,}69$, $\log 3 \approx 1{,}10$.)

Numeratore

$$\text{NUM} = e^{\log 2\cdot x^2\log x} - e^{x^2\log x}$$ L'esponente del secondo termine ha coefficiente $1$, quello del primo $\log 2 < 1$: vince il secondo. Lo si raccoglie: $$\text{NUM} = -e^{x^2\log x}\left[1 - e^{\log 2\cdot x^2\log x - x^2\log x}\right] = -e^{x^2\log x}\left[1 - e^{(\log 2 - 1)\,x^2\log x}\right]$$ Nella parentesi: $\log 2 - 1 < 0$ e $x^2\log x \to +\infty$, quindi l'esponente tende a $-\infty$ e $e^{(\log 2 - 1)x^2\log x} \to e^{-\infty} = 0$. La parentesi tende a $1 - 0 = 1$, e $$\text{NUM} \sim -e^{x^2\log x}$$

Denominatore

$$\text{DEN} = e^{\log 3\cdot x^2\log x} - e^{x\log 3 + x\log x}$$ Si confrontano gli esponenti: $\log 3\cdot x^2\log x$ contro $x\log 3 + x\log x$. Il primo contiene $x^2\log x$, il secondo al massimo $x\log x$: il secondo esponente è un $o$ del primo, e la differenza tra il secondo e il primo tende a $-\infty$. Quindi $$\frac{e^{x\log 3 + x\log x}}{e^{\log 3\cdot x^2\log x}} = e^{x\log 3 + x\log x - \log 3\cdot x^2\log x} \to e^{-\infty} = 0$$ cioè $e^{x\log 3 + x\log x} = o\left(e^{\log 3\cdot x^2\log x}\right)$, e $$\text{DEN} \sim e^{\log 3\cdot x^2\log x}$$

Attenzione: per due esponenziali non basta che gli esponenti siano asintotici. Bisogna che la differenza degli esponenti tenda a $-\infty$: per esempio $e^{x + 1}$ e $e^x$ hanno esponenti asintotici, ma $\frac{e^{x+1}}{e^x} = e \ne 1$.

Conclusione

$$L = \lim_{x \to +\infty}\frac{-e^{x^2\log x}}{e^{\log 3\cdot x^2\log x}} = \lim_{x \to +\infty}\left(-e^{(1 - \log 3)\,x^2\log x}\right)$$ Siccome $1 - \log 3 < 0$ (perché $\log 3 > \log e = 1$Il logaritmo naturale è crescente e $3 > e \approx 2{,}718$.), l'esponente tende a $-\infty$: $$L = -e^{-\infty} = 0$$ (più precisamente il quoziente tende a $0$ da valori negativi).

Verifica numerica (con Python, ad alta precisione): in $x = 3$ il quoziente vale circa $-0{,}36$, in $x = 5$ circa $-0{,}019$: tende a $0$ da sotto ✓.

Errori comuni

• Applicare de l'Hôpital a una forma $\infty - \infty$: il teorema vale solo per quozienti $\frac00$ o con denominatore infinito.
• Sbagliare l'ordine tra $\log 2$, $1$ e $\log 3$: è tutto il succo dell'esercizio. $\log 2 < 1 < \log 3$ perché $2 < e < 3$.
• Confrontare due esponenziali guardando solo se gli esponenti sono asintotici: serve che la differenza degli esponenti vada a $\pm\infty$.