Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi

Lezione 28. Prerequisiti: Teoremi di Rolle e di LagrangeRolle: f continua su [a,b], derivabile in ]a,b[, f(a) = f(b) ⇒ esiste c in ]a,b[ con f'(c) = 0. Lagrange (valor medio): stesse ipotesi senza f(a) = f(b) ⇒ esiste c con f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a): la tangente in c è parallela alla corda. Conseguenza: su un intervallo f è costante se e solo se f' = 0; su un insieme che non è un intervallo è solo costante a tratti (arctan x + arctan(1/x)).Teoremi di Rolle e di Lagrange →, Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, Massimi e minimi relativi e teorema di Fermatx0 è punto di minimo (massimo) relativo se f(x0) ≤ f(x) (≥) per gli x del dominio vicini a x0. I candidati sono gli estremi del dominio, i punti dove f non è derivabile e i punti interni con f'(x0) = 0 (punti critici o stazionari). Teorema di Fermat: in un punto interno di minimo o massimo relativo dove f è derivabile, f'(x0) = 0. È solo una condizione necessaria: x³ in 0.Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat →.

È la conseguenza più importante del teorema di Lagrange e lo strumento di base dello studio di funzione: dal segno di $f'$ si legge dove $f$ cresce e dove decresce, e quindi dove ha massimi e minimi.

Il test di monotonia

Teorema (test di monotonia per funzioni derivabili). Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$. Allora:

1. $f$ è crescente in $[a, b]$ $\iff$ $f'(x) \ge 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$;
2. $f$ è decrescente in $[a, b]$ $\iff$ $f'(x) \le 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$;
3. $f$ è strettamente crescente in $[a, b]$ $\iff$ $f'(x) \ge 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$ e non esistono intervalli in cui $f' = 0$ (analogamente per strettamente decrescente).

(Qui "crescente" vuol dire $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)$, e "strettamente crescente" con $<$.)

Lo stesso vale su qualunque intervallo, anche illimitato o aperto: si applica il teorema a ogni sottointervallo chiuso $[a, b]$.

Strettamente crescente non vuol dire $f' > 0$

Dal punto 3 segue che se $f'(x) > 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$, allora $f$ è strettamente crescente. Il viceversa è falso.

Esempio: $f(x) = x^3$ è strettamente crescente su $\mathbb{R}$, ma $f'(x) = 3x^2$ si annulla in $0$. La derivata è $> 0$ ovunque tranne in un punto isolato, e un punto isolato non è un intervallo: il punto 3 vale.

In pratica: una funzione con $f' > 0$ tranne che in un insieme di punti isolati (dove $f' = 0$) è strettamente crescente. Per questo nello studio del segno di $f'$ i singoli zeri non interrompono la monotonia.

Dimostrazione dei punti 1 e 3

1, verso $\Rightarrow$ ($f$ crescente $\Rightarrow f' \ge 0$). Si studia il segno del rapporto incrementale in un punto $x_0 \in \,]a, b[$:

• se $x > x_0$: $f$ crescente dà $f(x) \ge f(x_0)$, numeratore $\ge 0$ e denominatore $> 0$, rapporto $\ge 0$;
• se $x < x_0$: $f(x) \le f(x_0)$, numeratore $\le 0$ e denominatore $< 0$, rapporto $\ge 0$.

Il rapporto incrementale è sempre $\ge 0$, quindi per la permanenza del segno (seconda forma) $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0$.

1, verso $\Leftarrow$ ($f' \ge 0 \Rightarrow f$ crescente). Qui serve Lagrange. Presi $x_1 < x_2$ in $[a, b]$, si applica Lagrange a $f$ su $[x_1, x_2]$: esiste $c \in \,]x_1, x_2[ \,\subseteq \,]a, b[$ con $$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c) \ge 0$$ Il denominatore $x_2 - x_1$ è positivo, quindi deve essere $f(x_2) - f(x_1) \ge 0$, cioè $f(x_1) \le f(x_2)$. Vale per ogni coppia $x_1 < x_2$: $f$ è crescente ∎.

2 è analogo con le disuguaglianze rovesciate.

3 (dimostrazione non richiesta all'esame). $f$ crescente è strettamente crescente se e solo se non è costante su nessun intervallo (se $f(x_1) = f(x_2)$ con $x_1 < x_2$, essendo crescente $f$ è costante su tutto $[x_1, x_2]$). E per la caratterizzazione delle funzioni costanti, $f$ è costante su un intervallo se e solo se lì $f' = 0$.

Condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi

Corollario. Sia $f: \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \,\to \mathbb{R}$ continua, e derivabile tranne al più in $x_0$.

• Se $f' > 0$ in $]x_0 - \delta, x_0[$ e $f' < 0$ in $]x_0, x_0 + \delta[$ ($f$ sale e poi scende), $x_0$ è un punto di massimo relativo stretto.
• Se $f' < 0$ in $]x_0 - \delta, x_0[$ e $f' > 0$ in $]x_0, x_0 + \delta[$ ($f$ scende e poi sale), $x_0$ è un punto di minimo relativo stretto.

Per gli estremi di un intervallo: se $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ è continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$,

• $f' > 0$ in $]a, a + \delta[$ ($f$ parte salendo) $\Rightarrow$ $a$ è di minimo relativo stretto; $f' < 0$ lì $\Rightarrow$ $a$ è di massimo relativo stretto;
• $f' > 0$ in $]b - \delta, b[$ ($f$ arriva salendo) $\Rightarrow$ $b$ è di massimo relativo stretto; $f' < 0$ lì $\Rightarrow$ $b$ è di minimo relativo stretto.

Perché (primo caso): per il test di monotonia $f$ è strettamente crescente su $]x_0 - \delta, x_0]$ e strettamente decrescente su $[x_0, x_0 + \delta[$ (la continuità in $x_0$ permette di includere $x_0$ in entrambi). Quindi $f(x) < f(x_0)$ sia a sinistra sia a destra.

Come si usa: la tabella del segno di $f'$

Nello studio di funzione si disegna il segno di $f'$ sulla retta e sotto le frecce della monotonia:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & & x_1 & & x_2 & \\ \hline f' & + & 0 & - & 0 & + \\ f & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{min} & \nearrow \end{array}$$

Ogni cambio di freccia da $\nearrow$ a $\searrow$ è un massimo relativo, da $\searrow$ a $\nearrow$ un minimo relativo.

Due cose importanti:

• funziona anche nei punti di non derivabilità (basta la continuità in $x_0$): per esempio $|x|$ in $0$ ha $f' < 0$ a sinistra e $f' > 0$ a destra, quindi minimo; e negli estremi del dominio;
• non serve calcolare $f(x_0)$ né il segno di $f$ per dire che c'è un massimo o un minimo: basta il segno di $f'$ (vedi l'Esercizio 81 · monotonia di log(1+x² - 6 arctan x + 2x).

Sono condizioni solo sufficienti

Si può avere un minimo relativo in $x_0$ senza che $f$ sia decrescente a sinistra e crescente a destra.

Controesempio: $$f(x) = \begin{cases} x^2\left(2 + \sin\frac1x\right) & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$

• In $0$ c'è il minimo assoluto. Siccome $-1 \le \sin\frac1x \le 1$, si ha $1 \le 2 + \sin\frac1x \le 3$ e quindi $x^2 \le f(x) \le 3x^2$ per $x \ne 0$: $f(x) > 0 = f(0)$. Il grafico sta tra le parabole $y = x^2$ e $y = 3x^2$.
• $f$ è continua in $0$: $x^2 \to 0$ per una funzione limitata.
• Ma $f'$ cambia segno infinite volte vicino a $0$. Per $x \ne 0$: $$f'(x) = 2x\left(2 + \sin\frac1x\right) + x^2\cos\frac1x\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = 2x\left(2 + \sin\frac1x\right) - \cos\frac1x$$ Sulle successioni $x_n = \frac{1}{2n\pi} \to 0^+$ ($\sin = 0$, $\cos = 1$) e $y_n = \frac{1}{(2n + 1)\pi} \to 0^+$ ($\sin = 0$, $\cos = -1$): $$f'(x_n) = \frac{2}{n\pi} - 1 \to -1 < 0, \qquad f'(y_n) = \frac{4}{(2n + 1)\pi} + 1 \to 1 > 0$$ Quindi per la permanenza del segno ci sono punti arbitrariamente vicini a $0$, a destra, con $f' > 0$ e altri con $f' < 0$: $f$ non è crescente in nessun intervallo $]0, \delta[$. Lo stesso a sinistra (la funzione è pari).

Il minimo c'è, ma il segno di $f'$ non lo rivela: il grafico oscilla sempre più fitto mentre scende verso $0$.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Dire "strettamente crescente $\Rightarrow f' > 0$": $x^3$ in $0$.
• Applicare il test su un insieme che non è un intervallo: $-\frac1x$ ha $f' = \frac{1}{x^2} > 0$ su $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ ma non è crescente su tutto il dominio ($f(-1) = 1 > f(1) = -1$); è crescente su ciascuno dei due intervalli separatamente.
• Dimenticare la continuità in $x_0$ quando si usa il cambio di segno di $f'$ in un punto di non derivabilità: con un salto il cambio di segno non garantisce nulla.