Esercizio 82trovare a e b perché una funzione a tratti sia di classe C1

Testo (Lezione 29, esercizio 14 del foglio 12-14/11). Data la funzione $$f(x) = \begin{cases} a\,\dfrac{e^x - 1}{x} + x & x > 0 \\[3mm] \dfrac{1}{\cos x} + 2bx & x \le 0 \end{cases}$$

• (i) determinare $a, b \in \mathbb{R}$ tali che $f$ sia continua in $x = 0$;
• (ii) determinare $a, b \in \mathbb{R}$ tali che $f \in C^1\left(\left]-\frac\pi2, \frac\pi2\right[\right)$.

Teoria: Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata → (classe $C^1$), Teorema di de l'HôpitalPer una forma 0/0 o ·/∞, se esiste il limite di f'/g' allora esiste anche quello di f/g ed è lo stesso. Vale anche per limiti destri, sinistri e all'infinito. Se il limite di f'/g' non esiste non si può concludere nulla. Serve a calcolare limiti (da solo o dopo uno sviluppo di Mac-Laurin) e a studiare la derivabilità.Teorema di de l'Hôpital →, Discontinuità e prolungamento per continuitàIn un punto interno del dominio f può avere discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) o eliminabile; in un punto fuori dal dominio, se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti, f si prolunga per continuità. Limiti alla frontiera nello studio di funzione.Discontinuità e prolungamento per continuità →.

Prima osservazione: il valore in $0$

$x = 0$ cade nel secondo tratto ($x \le 0$), quindi $$f(0) = \frac{1}{\cos 0} + 2b\cdot 0 = 1$$ qualunque siano $a$ e $b$.

(i) Continuità in $0$

$f$ è continua in $0$ se e solo se esistono i limiti destro e sinistro e sono uguali a $f(0) = 1$.

Da destra. Per il limite notevolePer x che tende a 0, (e^x − 1)/x tende a 1.Limiti notevoli di funzioni → $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+}\left[a\,\frac{e^x - 1}{x} + x\right] = a\cdot 1 + 0 = a$$

Da sinistra. È una funzione continua, basta sostituire: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{\cos 0} + 0 = 1$$

Il limite sinistro vale già $1 = f(0)$; serve che anche quello destro valga $1$: $a = 1$. Il parametro $b$ non compare in nessun limite.

$$f \text{ continua in } 0 \iff a = 1, \quad b \in \mathbb{R} \text{ qualsiasi}$$

(ii) Classe $C^1$ in $\left]-\frac\pi2, \frac\pi2\right[$

Perché quell'intervallo. Nel tratto $x \le 0$ c'è $\frac{1}{\cos x}$, definito e derivabile finché $\cos x \ne 0$, cioè (andando verso sinistra da $0$) per $x > -\frac\pi2$. A destra di $0$ non ci sono problemi. Su $\left]-\frac\pi2, \frac\pi2\right[$ l'unico punto delicato è $x = 0$.

Primo requisito: la continuità. Una funzione $C^1$ è derivabile, quindi continua: serve $a = 1$. Da qui in poi $a = 1$.

Derivata fuori da $0$.

• Per $x > 0$ (regola del quoziente su $\frac{e^x - 1}{x}$: $\frac{e^x\cdot x - (e^x - 1)\cdot 1}{x^2}$): $$f'(x) = \frac{x e^x - e^x + 1}{x^2} + 1$$
• Per $-\frac\pi2 < x < 0$ ($D\frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$, derivando $(\cos x)^{-1}$ con la catena): $$f'(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} + 2b$$

Entrambe sono continue nel loro tratto (composte di funzioni continue). Quindi $f \in C^1$ se e solo se in $x = 0$ la funzione è derivabile e $f'$ è continua. Per il Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata → ($f$ è continua in $0$) basta che $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} f'(x) \in \mathbb{R}$$ e allora $f'(0)$ è il valore comune, e $f'$ è continua in $0$.

Limite destro. $\frac{xe^x - e^x + 1}{x^2}$ è una forma $\frac00$ (sopra $0 - 1 + 1 = 0$). Con de l'Hôpital: la derivata del numeratore è $e^x + xe^x - e^x = xe^x$, quella del denominatore $2x$: $$\lim_{x \to 0^+}\frac{xe^x - e^x + 1}{x^2} \overset{H}{=} \lim_{x \to 0^+}\frac{x e^x}{2x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{e^x}{2} = \frac12$$ Quindi $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \frac12 + 1 = \frac32$.

(Con gli sviluppi: $xe^x - e^x + 1 = x + x^2 - 1 - x - \frac{x^2}{2} + 1 + o(x^2) = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$, stesso risultato.)

Limite sinistro. $$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \frac{\sin 0}{\cos^2 0} + 2b = 2b$$

Uguaglianza: $2b = \frac32 \iff b = \frac34$.

$$f \in C^1\left(\left]-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\right[\right) \iff a = 1 \text{ e } b = \frac34$$ e in tal caso $f'(0) = \frac32$.

Verifica (con Python): i limiti $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \frac32$ (con $a = 1$) e $\lim_{x \to 0^-}\frac{\sin x}{\cos^2 x} = 0$ ✓.

Errori comuni

• Calcolare i limiti di $f'$ senza aver imposto la continuità: con $a \ne 1$ la funzione ha un salto in $0$ e il limite della derivata non dice niente sulla derivabilità.
• Derivare il tratto $x \le 0$ anche in $x = 0$ e dire che $f'(0) = 2b$: in $0$ la derivata va controllata con entrambi i tratti.
• Dimenticare il $+1$ che viene dal termine $x$ nel primo tratto.