Lezione 29Monotonia, derivate successive e convessità

Data: lunedì 17 novembre 2025 · Videolezione: n. 30 della playlist ("Lezione 29", 1h38)

Argomenti trattati

1. Fine degli esercizi del foglio 12-14/11: monotonia, massimi e minimi di $\log(1 + x^2) - 6\arctan x + 2x$ (esercizio 12); parametri $a$, $b$ per avere una funzione a tratti continua e di classe $C^1$ (esercizio 14); studio fino alla derivata prima di $\arcsin\frac{1}{1 + x^2}$, con un punto angoloso nel massimo (esercizio 15).
2. Derivate successive: definizione, notazioni; se esiste $f^{(n)}(x_0)$ allora $f, \dots, f^{(n-1)}$ sono continue in $x_0$; classi $C^n(I)$ e loro inclusioni.
3. Funzioni convesse e concave: definizione con la corda e con il parametro $t$; regolarità (continuità, derivate destra e sinistra); caratterizzazione con la tangente, con $f'$ crescente e con $f'' \ge 0$; $x^4$ è strettamente convessa con $f''(0) = 0$.
4. Punti di flesso: definizione; se esiste $f''(x_0)$ in un flesso allora $f''(x_0) = 0$ (dimostrazione con Fermat applicato a $f'$); $x^4$ mostra che non basta.

Teoria

• Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi → — usato negli esercizi
• Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata → — derivabilità nei punti di raccordo
• Derivate successive e funzioni di classe CnLa derivata seconda è la derivata di f', la derivata n-esima è la derivata della (n−1)-esima. Se esiste f⁽ⁿ⁾(x0), allora f, f', …, f⁽ⁿ⁻¹⁾ sono continue in x0. Cⁿ(I) = funzioni derivabili n volte su I con f⁽ⁿ⁾ continua; Cⁿ ⊊ Cⁿ⁻¹ ⊊ … ⊊ C¹ ⊊ C⁰.Derivate successive e funzioni di classe Cn →
• Funzioni convesse, concave e punti di flessof è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso →

Esercizi

• Esercizio 81 · monotonia di log(1+x² - 6 arctan x + 2x — esercizio 12
• Esercizio 82 · trovare a e b perché una funzione a tratti sia di classe C1 — esercizio 14
• Esercizio 83 · studio di arcsin(1/(1+x²) fino alla derivata prima — esercizio 15