Esercizio 172domande qualitative su soluzioni limitate, periodiche e illimitate

Testo (esercizi 19 e 20 del foglio, svolti nel PDF della lezione 48 dopo la fine della lezione).

19. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $$y''(t) + y'(t) + 2y(t) = 2e^{-t/2}\cos(\omega t)$$ senza calcolare esplicitamente i coefficienti delle soluzioni particolari. Stabilire, se esistono, per quali $\omega > 0$:

• tutte le soluzioni sono limitate in $[0, +\infty[$; periodiche in $[0, +\infty[$;
• $e^{t/2}y(t)$ è definitivamente limitato per $t \to +\infty$;
• $e^{t/2}y(t)$ è periodico (a) per almeno una soluzione, (b) per tutte le soluzioni.

20. Determinare, se esistono, i valori di $a \in \mathbb{R}$ tali che almeno una soluzione di $y'''(t) - a\,y'(t) = \sin t$ verifichi $\lim_{t \to -\infty} y(t) = -\infty$.

Teoria: Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa →, Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →.

In entrambi gli esercizi la forma delle soluzioni basta per rispondere: i coefficienti $A, B$ delle soluzioni particolari non servono, basta sapere che non sono entrambi nulli (se lo fossero, $y_p = 0$ risolverebbe l'omogenea e non la completa, che ha termine noto non nullo).

19.

Integrale generale

Omogenea. $p(\lambda) = \lambda^2 + \lambda + 2 = 0 \iff \lambda_{1,2} = -\frac12 \pm i\frac{\sqrt7}{2}$ ($\Delta = -7 < 0$): $$y_0(t) = e^{-\frac t2}\left(c_1\cos\left(\tfrac{\sqrt7}{2}t\right) + c_2\sin\left(\tfrac{\sqrt7}{2}t\right)\right)$$ (nel PDF qui compare per errore "$\cos(\dots) + i\sin(\dots)$" senza costanti: le soluzioni reali sono quelle scritte sopra).

Soluzione particolare. $b(t) = 2e^{-t/2}\cos(\omega t)$: $\alpha = -\frac12$, quindi $\bar\lambda = -\frac12 + i\omega$. È radice di $p$ se e solo se $\omega = \frac{\sqrt7}{2}$.

• $\omega \ne \frac{\sqrt7}{2}$: niente risonanza, $y_p = e^{-t/2}\left(A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\right)$, con $(A, B) \ne (0, 0)$;
• $\omega = \frac{\sqrt7}{2}$: risonanza (radice semplice), $y_p = t\,e^{-t/2}\left(\bar A\cos\left(\tfrac{\sqrt7}{2}t\right) + \bar B\sin\left(\tfrac{\sqrt7}{2}t\right)\right)$, con $(\bar A, \bar B) \ne (0, 0)$.

$$y(t) = \begin{cases} e^{-\frac t2}\left(c_1\cos\tfrac{\sqrt7}{2}t + c_2\sin\tfrac{\sqrt7}{2}t\right) + e^{-\frac t2}\left(A\cos\omega t + B\sin\omega t\right) & \omega \ne \frac{\sqrt7}{2} \\[2mm] e^{-\frac t2}\left(c_1\cos\tfrac{\sqrt7}{2}t + c_2\sin\tfrac{\sqrt7}{2}t\right) + t\,e^{-\frac t2}\left(\bar A\cos\tfrac{\sqrt7}{2}t + \bar B\sin\tfrac{\sqrt7}{2}t\right) & \omega = \frac{\sqrt7}{2} \end{cases}$$

Tutte le soluzioni sono limitate in $[0, +\infty[$?

Sì, per ogni $\omega > 0$. Le parentesi sono limitate (seni e coseni), e sono moltiplicate per $e^{-t/2}$ oppure, nel caso di risonanza, per $t\,e^{-t/2}$; entrambe le funzioni tendono a $0$ per $t \to +\infty$ ($t\,e^{-t/2} \to 0$ per la gerarchia degli infiniti). Quindi ogni soluzione è continua su $[0, +\infty[$ e tende a $0$: è limitata.

(Nel PDF la risposta è "sì per $\omega \ne \frac{\sqrt7}{2}$"; ma anche con la risonanza il fattore $t$ è battuto da $e^{-t/2}$, e le soluzioni restano limitate.)

Periodiche?

No, per nessun $\omega$. Ogni soluzione tende a $0$ per $t \to +\infty$ senza essere identicamente nulla ($y = 0$ non risolve la completa). Una funzione periodica che tende a $0$ è identicamente nulla (ripete all'infinito i suoi valori), quindi nessuna soluzione è periodica: è il fattore $e^{-t/2}$ a impedirlo.

$e^{t/2}y(t)$ è definitivamente limitato?

Moltiplicando per $e^{t/2}$ il fattore esponenziale sparisce: $$e^{t/2}y(t) = \begin{cases} c_1\cos\tfrac{\sqrt7}{2}t + c_2\sin\tfrac{\sqrt7}{2}t + A\cos\omega t + B\sin\omega t & \omega \ne \frac{\sqrt7}{2} \\[1mm] c_1\cos\tfrac{\sqrt7}{2}t + c_2\sin\tfrac{\sqrt7}{2}t + t\left(\bar A\cos\tfrac{\sqrt7}{2}t + \bar B\sin\tfrac{\sqrt7}{2}t\right) & \omega = \frac{\sqrt7}{2} \end{cases}$$

• $\omega \ne \frac{\sqrt7}{2}$: somma di seni e coseni, limitata per tutte le soluzioni;
• $\omega = \frac{\sqrt7}{2}$: il termine $t(\dots)$ oscilla con ampiezza che cresce come $t$ (perché $(\bar A, \bar B) \ne (0, 0)$): illimitato.

Risposta: solo per $\omega \ne \frac{\sqrt7}{2}$.

$e^{t/2}y(t)$ periodico (a) per almeno una soluzione

• $\omega \ne \frac{\sqrt7}{2}$: sì, basta prendere $c_1 = c_2 = 0$: resta $A\cos\omega t + B\sin\omega t$, periodica di periodo $\frac{2\pi}{\omega}$;
• $\omega = \frac{\sqrt7}{2}$: no, il termine $t(\dots)$ è illimitato e una funzione continua periodica è limitata.

Risposta: per ogni $\omega \ne \frac{\sqrt7}{2}$. (Nel PDF è scritto "per ogni $\omega > 0$, con $c_1 = c_2 = 0$": ma per $\omega = \frac{\sqrt7}{2}$ anche con $c_1 = c_2 = 0$ resta il termine con $t$.)

(b) per tutte le soluzioni

Con $\omega = \frac{\sqrt7}{2}$ no (punto precedente). Con $\omega \ne \frac{\sqrt7}{2}$, per $c_1, c_2$ qualsiasi $e^{t/2}y$ è la somma di una funzione periodica di periodo $T_1 = \frac{2\pi}{\sqrt7/2} = \frac{4\pi}{\sqrt7}$ e di una di periodo $T_2 = \frac{2\pi}{\omega}$. Una somma così è periodica se e solo se i due periodi hanno rapporto razionale (allora un multiplo comune è un periodo della somma): $$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\omega}{\sqrt7/2} = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q} \iff \omega = \frac mn\cdot\frac{\sqrt7}{2}, \qquad m, n \in \mathbb{N} \setminus \{0\},\ \frac mn \ne 1$$ Per esempio con $\omega = \sqrt7 = 2\cdot\frac{\sqrt7}{2}$ il periodo comune è $T_1$; con $\omega = 1$ il rapporto $\frac{2}{\sqrt7}$ è irrazionale e $e^{t/2}y$ non è periodico (se $c_1$ o $c_2 \ne 0$).

20.

È lineare del terzo ordine, a coefficienti costanti. (Non compare $y$: si potrebbe porre $v = y'$ e risolvere $v'' - a v = \sin t$, poi integrare. Qui si usa direttamente il polinomio caratteristico di ordine $3$.)

Omogenea: $y''' - a y' = 0$

$$p(\lambda) = \lambda^3 - a\lambda = \lambda(\lambda^2 - a) = 0 \iff \lambda_1 = 0,\ \lambda^2 = a$$

• $a = 0$: $\lambda = 0$ radice tripla, $y_0 = c_1 + c_2 t + c_3 t^2$;
• $a > 0$: $\lambda = 0, \pm\sqrt a$ reali distinte, $y_0 = c_1 + c_2 e^{\sqrt a\,t} + c_3 e^{-\sqrt a\,t}$;
• $a < 0$: $\lambda = 0, \pm i\sqrt{|a|}$, $y_0 = c_1 + c_2\cos(\sqrt{|a|}\,t) + c_3\sin(\sqrt{|a|}\,t)$.

Soluzione particolare

$b(t) = \sin t$: $\bar\lambda = i$. È radice di $p$ solo se $i = \pm i\sqrt{|a|}$ con $a < 0$, cioè $|a| = 1$, $a = -1$.

• $a \ne -1$: $y_p = A\sin t + B\cos t$;
• $a = -1$: risonanza, $y_p = t\,(A\sin t + B\cos t)$.

In ogni caso $(A, B) \ne (0, 0)$.

Integrale generale

$$y(t) = \begin{cases} c_1 + c_2 t + c_3 t^2 + A\sin t + B\cos t & a = 0 \\ c_1 + c_2 e^{\sqrt a\,t} + c_3 e^{-\sqrt a\,t} + A\sin t + B\cos t & a > 0 \\ c_1 + c_2\cos(\sqrt{|a|}t) + c_3\sin(\sqrt{|a|}t) + A\sin t + B\cos t & a < 0,\ a \ne -1 \\ c_1 + c_2\cos t + c_3\sin t + t(A\sin t + B\cos t) & a = -1 \end{cases}$$

Quando almeno una soluzione tende a $-\infty$ per $t \to -\infty$

Si cerca una scelta delle costanti che funzioni.

• $a = 0$: con $c_3 < 0$ (e per esempio $c_2 = 0$), $c_3 t^2 \to -\infty$ e domina sulla parte limitata $A\sin t + B\cos t$: sì.
• $a > 0$: per $t \to -\infty$, $e^{\sqrt a\,t} \to 0$ mentre $e^{-\sqrt a\,t} \to +\infty$. Con $c_3 < 0$ si ha $c_3 e^{-\sqrt a\,t} \to -\infty$: sì. (Nel PDF è scritto "basta scegliere $c_2 < 0$", ma il termine con $c_2$ va a $0$ per $t \to -\infty$: è $c_3$ quello che serve.)
• $a < 0$, $a \ne -1$: tutte le soluzioni sono somme di una costante e di seni e coseni, quindi limitate: no.
• $a = -1$: il termine $t(A\sin t + B\cos t)$, con $(A, B) \ne (0, 0)$, oscilla con ampiezza crescente: $y$ è illimitata ma non ha limite (cambia segno infinite volte). No.

Risposta: $a \ge 0$.

Verifica (con Python, dsolve per $a = -1$): $y = c_1 + c_3\cos t + (c_2 - \frac t2)\sin t$, quindi davvero $(A, B) = (-\frac12, 0) \ne (0, 0)$ ✓.

Errori comuni

• Concludere qualcosa sui limiti a $-\infty$ guardando il comportamento a $+\infty$: per $t \to -\infty$ è $e^{-\sqrt a t}$ a esplodere, non $e^{\sqrt a t}$.
• Dimenticare che con la risonanza compare un fattore $t$ che cambia limitatezza e periodicità.
• Pensare che la somma di due funzioni periodiche sia sempre periodica: serve che il rapporto dei periodi sia razionale.