Esercizio 78limite con x^α, x³ log⁴ x e sin² x

Testo (Lezione 27, esercizio 3 del foglio). Calcolare, al variare di $\alpha > 0$, $$\lim_{x \to 0^+}\frac{x^\alpha - x^3\log^4 x - \sin^2 x}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}}$$

Teoria: Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →, Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo →.

Il piano

Numeratore e denominatore tendono a $0$ (con $\alpha > 0$, $x^\alpha \to 0$; $x^3\log^4 x \to 0$ per la gerarchia; $\sin^2 x \to 0$; sotto $1 - 1 = 0$). Si cerca per ciascuno il termine dominante, cioè un'espressione semplice a cui è asintotico.

C'è un parametro: non si sa in anticipo quali termini si cancellano. Per questo si sviluppa con un margine, fino a $o(x^4)$.

Numeratore

Il seno al quadrato

$\sin x = x - \frac16 x^3 + o(x^4)$ (il termine successivo è $\frac{x^5}{120}$, già dentro $o(x^4)$). Elevando al quadrato e tenendo solo le potenze fino a $x^4$: $$\sin^2 x = \left(x - \frac16 x^3 + o(x^4)\right)^2 = x^2 - 2\cdot x\cdot\frac16 x^3 + o(x^4) = x^2 - \frac13 x^4 + o(x^4)$$ (il doppio prodotto $2\cdot x\cdot\left(-\frac16 x^3\right) = -\frac13 x^4$; il quadrato $\frac{1}{36}x^6$ e i prodotti con $o(x^4)$ sono tutti $o(x^4)$).

Dove sta $x^3\log^4 x$

Non è una potenza, ma si confronta con le potenze grazie alla gerarchia degli infinitesimi in $0^+$Per x che tende a 0 da destra, $x^\varepsilon$ per una potenza del logaritmo tende a 0 qualunque siano $\varepsilon > 0$ e l'esponente del logaritmo: la potenza vince sempre sul logaritmo.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo → ($x^\varepsilon|\log x|^p \to 0$ per ogni $\varepsilon, p > 0$):

• se $\beta < 3$: $x^3\log^4 x = o(x^\beta)$, perché $\frac{x^3\log^4 x}{x^\beta} = x^{3 - \beta}\log^4 x \to 0$;
• se $\beta \ge 3$: $x^\beta = o(x^3\log^4 x)$, perché $\frac{x^\beta}{x^3\log^4 x} = \frac{x^{\beta - 3}}{\log^4 x} \to 0$ (anche per $\beta = 3$: $\frac{1}{\log^4 x} \to 0$).

In breve: $x^3\log^4 x$ sta appena sopra $x^3$, più grande di $x^3$ ma più piccolo di ogni $x^\beta$ con $\beta < 3$.

Il numeratore sviluppato

$$\text{NUM} = x^\alpha - x^3\log^4 x - x^2 + \frac13 x^4 + o(x^4)$$

Ora si confrontano i termini secondo $\alpha$. Il candidato più "grande" (cioè di grado più basso, vicino a $0$) è $x^2$, a meno che $x^\alpha$ sia più grande o lo cancelli.

• $0 < \alpha < 2$: $x^\alpha$ è il termine di grado più basso. Tutti gli altri sono $o(x^\alpha)$: $x^2$ perché $2 > \alpha$, $x^3\log^4 x$ perché $\alpha < 3$. Quindi $\text{NUM} = x^\alpha + o(x^\alpha) \sim x^\alpha$.
• $\alpha = 2$: $x^\alpha - x^2 = 0$, il termine $x^2$ si cancella. Restano $-x^3\log^4 x + \frac13 x^4 + o(x^4)$, e $x^4 = o(x^3\log^4 x)$ (secondo punto sopra con $\beta = 4$). Quindi $\text{NUM} \sim -x^3\log^4 x$.
• $\alpha > 2$: il termine di grado più basso è $-x^2$; $x^\alpha$, $x^3\log^4 x$ e $x^4$ sono tutti $o(x^2)$. Quindi $\text{NUM} \sim -x^2$.

Denominatore

Con $(1 + y)^{1/2} = 1 + \frac12 y + o(y)$È lo sviluppo di $(1 + y)^\alpha = 1 + \alpha y + o(y)$ con $\alpha = 1/2$. Basta il primo ordine perché i termini in $x^2$ non si cancellano. e $y = \pm x^2$: $$\sqrt{1 + x^2} = 1 + \frac12 x^2 + o(x^2), \qquad \sqrt{1 - x^2} = 1 - \frac12 x^2 + o(x^2)$$ $$\text{DEN} = 1 + \frac12 x^2 - 1 + \frac12 x^2 + o(x^2) = x^2 + o(x^2) \sim x^2$$

Conclusione

$$L = \begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{x^\alpha}{x^2} = \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x^{2 - \alpha}} = +\infty & 0 < \alpha < 2 \\[3mm] \displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{-x^3\log^4 x}{x^2} = \lim_{x \to 0^+}\left(-x\log^4 x\right) = 0 & \alpha = 2 \\[3mm] \displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{-x^2}{x^2} = -1 & \alpha > 2 \end{cases}$$

($x\log^4 x \to 0$ ancora per la gerarchia degli infinitesimi.)

Verifica numerica (con Python): con $\alpha = 1$ e $x = 10^{-4}$ il quoziente vale circa $10^4$; con $\alpha = 3$ e $x = 10^{-8}$ circa $-1{,}001$; con $\alpha = 2$ va a zero lentamente ($\approx -0{,}72$ in $x = 10^{-4}$, $\approx -0{,}0012$ in $x = 10^{-8}$), come ci si aspetta da $-x\log^4 x$ ✓.

Errori comuni

• Sviluppare il seno solo al primo ordine ($\sin^2 x \sim x^2$): per $\alpha = 2$ si ottiene $\text{NUM} = o(x^2)$ e non si sa più niente.
• Pensare che $x^3\log^4 x$ sia "come $x^3$": è più grande di ogni $x^\beta$ con $\beta \ge 3$, e per $\alpha = 2$ è proprio lui a battere $\frac13 x^4$.
• Dimenticare il caso $\alpha = 2$: con un parametro, i casi in cui i termini si cancellano vanno trattati a parte.