Esercizio 83studio di arcsin(1/(1+x²) fino alla derivata prima

Testo (Lezione 29, esercizio 15 del foglio 12-14/11). Studiare, fino alla derivata prima, la funzione $$f(x) = \arcsin\left(\frac{1}{1 + x^2}\right)$$

Teoria: Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi →, Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata →, Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →, Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →.

(a) Dominio, simmetrie, segno

Dominio. L'arcoseno è definito su $[-1, 1]$, quindi serve $$-1 \le \frac{1}{1 + x^2} \le 1$$

• La disuguaglianza di sinistra è sempre vera: $\frac{1}{1 + x^2} > 0 > -1$.
• Quella di destra: moltiplicando per $1 + x^2 > 0$ (positivo, il verso non cambia), $1 \le 1 + x^2 \iff x^2 \ge 0$, sempre vero.

Dominio $= \mathbb{R}$.

Simmetrie. $f(-x) = \arcsin\left(\frac{1}{1 + (-x)^2}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{1 + x^2}\right) = f(x)$: $f$ è pari. Basta studiarla per $x \ge 0$ e poi ribaltare il grafico rispetto all'asse $y$.

Segno. L'arcoseno ha lo stesso segno del suo argomento ($\arcsin$ è crescente e $\arcsin 0 = 0$), e $\frac{1}{1 + x^2} > 0$: quindi $f(x) > 0$ per ogni $x$.

Un valore utile: $f(0) = \arcsin 1 = \frac\pi2$.

(b) Limiti alla frontiera e asintoti

La frontiera del dominio $\mathbb{R}$ è fatta di $\pm\infty$. $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \arcsin\left(\frac{1}{+\infty}\right) = \arcsin 0 = 0$$ (l'arcoseno è continuo in $0$). Per la parità anche $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. Quindi $y = 0$ è asintoto orizzontale a $-\infty$ e a $+\infty$.

(c) Derivata prima: monotonia, massimi e minimi, derivabilità

Calcolo

Con $D\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$ e $u = \frac{1}{1 + x^2}$, $u' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}$: $$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{(1 + x^2)^2}}}\cdot\left(-\frac{2x}{(1 + x^2)^2}\right)$$ Si semplifica la radice portando a denominatore comune: $$\sqrt{1 - \frac{1}{(1 + x^2)^2}} = \sqrt{\frac{(1 + x^2)^2 - 1}{(1 + x^2)^2}} = \frac{\sqrt{x^4 + 2x^2}}{1 + x^2} = \frac{\sqrt{x^2(x^2 + 2)}}{1 + x^2} = \frac{|x|\sqrt{x^2 + 2}}{1 + x^2}$$ Attenzione: $\sqrt{x^2} = |x|$, non $x$. Quindi $$f'(x) = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}\cdot\frac{1 + x^2}{|x|\sqrt{x^2 + 2}} = -\frac{2x}{|x|\,\sqrt{x^2 + 2}\,(1 + x^2)} \qquad \forall x \ne 0$$

In $x = 0$ la formula non ha senso (c'è $|x|$ al denominatore): lì l'argomento dell'arcoseno vale $1$, e l'arcoseno non è derivabile in $\pm 1$ (la sua derivata $\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$ esplode). La regola della catena non si può applicare in $0$.

In generale il dominio di f' è contenuto nell'insieme dei punti interni del dominio di f, e può essere più piccoloQui il dominio di f è tutto R, ma la formula della derivata vale solo per x diverso da 0: in 0 la derivabilità va studiata a parte..

Segno di $f'$ e monotonia

Siccome $\frac{x}{|x|}$ vale $1$ per $x > 0$ e $-1$ per $x < 0$: $$f'(x) = \begin{cases} -\dfrac{2}{\sqrt{x^2 + 2}\,(1 + x^2)} < 0 & x > 0 \\[3mm] +\dfrac{2}{\sqrt{x^2 + 2}\,(1 + x^2)} > 0 & x < 0 \end{cases}$$

$$\begin{array}{c|ccc} x & & 0 & \\ \hline f' & + & \nexists & - \\ f & \nearrow & \tfrac\pi2 & \searrow \end{array}$$

• $f$ è strettamente crescente in $]-\infty, 0]$ e strettamente decrescente in $[0, +\infty[$;
• $x = 0$ è punto di massimo assoluto, con $\max f = \frac\pi2$ ($f$ è continua in $0$ e $f'$ passa da $+$ a $-$; è assoluto perché $f$ cresce fino a $0$ e poi decresce);
• non ci sono minimi, né assoluti né relativi: $f$ scende verso $0$ senza raggiungerlo, quindi $\inf f = 0$ (non è un minimo, perché $f > 0$).

Derivabilità in $0$

$f$ è definita e continua in $0$. Per il Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata →, se esistono i limiti di $f'$ da destra e da sinistra, sono le derivate destra e sinistra: $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+}\left(-\frac{2}{\sqrt{x^2 + 2}\,(1 + x^2)}\right) = -\frac{2}{\sqrt 2} = -\sqrt2 = f'(0^+)$$ $$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = +\frac{2}{\sqrt 2} = \sqrt2 = f'(0^-)$$ (con $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$). Le derivate destra e sinistra esistono finite ma sono diverse: $f$ non è derivabile in $0$, e $x = 0$ è un punto angoloso, con tangenti di pendenza $\sqrt 2$ (da sinistra) e $-\sqrt2$ (da destra).

Verifica (con Python): la derivata calcolata simbolicamente coincide e i limiti in $0^\pm$ valgono $\mp\sqrt2$ ✓.

Grafico

Una campana con la punta in $(0, \frac\pi2)$ (punto angoloso) e l'asse $x$ come asintoto. Nel grafico qui sotto l'arcoseno è scritto come $\arcsin u = \arctan\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}$, che per $u = \frac{1}{1 + x^2}$ dà $\arctan\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 + 2}}$.

Errori comuni

• Scrivere $\sqrt{x^2} = x$: si perde il segno per $x < 0$ e si ottiene una derivata sbagliata a sinistra.
• Dire che $f$ è derivabile ovunque perché è composta di funzioni derivabili: l'arcoseno non è derivabile in $1$, che è proprio il valore dell'argomento in $x = 0$.
• Dire che $0$ è il minimo: è l'estremo inferiore, mai raggiunto.