Teoremi di Rolle e di Lagrange

Lezione 28. Prerequisiti: Massimi e minimi relativi e teorema di Fermatx0 è punto di minimo (massimo) relativo se f(x0) ≤ f(x) (≥) per gli x del dominio vicini a x0. I candidati sono gli estremi del dominio, i punti dove f non è derivabile e i punti interni con f'(x0) = 0 (punti critici o stazionari). Teorema di Fermat: in un punto interno di minimo o massimo relativo dove f è derivabile, f'(x0) = 0. È solo una condizione necessaria: x³ in 0.Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat →, Funzioni continue su un intervalloTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo → (teorema di Weierstrass).

Sono i teoremi fondamentali del calcolo differenziale: collegano il valore della derivata in un punto al comportamento della funzione su tutto un intervallo. Da loro seguono il test di monotonia e le condizioni sufficienti per i massimi e minimi.

Teorema di Rolle

Teorema di Rolle. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$, con $f(a) = f(b)$. Allora esiste $c \in \,]a, b[$ tale che $$f'(c) = 0$$

In parole: se una funzione liscia parte e arriva alla stessa quota, da qualche parte nel mezzo ha la tangente orizzontale (in cima a una collina, in fondo a una valle, oppure ovunque se è costante).

Dimostrazione. $f$ è continua sull'intervallo chiuso e limitato $[a, b]$, quindi per il teorema di Weierstrass esistono $m = \min f$ e $M = \max f$, cioè $$m \le f(x) \le M \qquad \forall x \in [a, b] \tag{1}$$ Due casi.

• Caso 1: almeno uno tra $M$ e $m$ è assunto in un punto $c$ interno ad $[a, b]$. Un massimo (o minimo) assoluto è anche relativo, $c$ è interno e $f$ è derivabile in $c$: per il teorema di Fermat $f'(c) = 0$.
• Caso 2: sia $m$ sia $M$ sono assunti solo negli estremi $a$, $b$. Ma $f(a) = f(b)$, quindi $m = M$. Per la (1) allora $f(x) = m = M$ per ogni $x$: $f$ è costante su $[a, b]$, e $f'(c) = 0$ per ogni $c \in \,]a, b[$ ∎.

Le ipotesi servono tutte.

• Senza la continuità in $a$ o $b$: $f(x) = x$ per $x \in [0, 1[$ e $f(1) = 0$ ha $f(0) = f(1)$ ma $f' = 1$ ovunque.
• Senza la derivabilità: $|x|$ su $[-1, 1]$ ha $f(-1) = f(1)$, ma $f'(x) = \pm 1$ dove esiste; il "punto piatto" sarebbe in $0$, dove $f$ non è derivabile.

Teorema di Lagrange (del valor medio)

Teorema di Lagrange. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$. Allora esiste $c \in \,]a, b[$ tale che $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Rolle è un caso particolare: se $f(a) = f(b)$ il secondo membro è $\frac{0}{b - a} = 0$, e si ritrova $f'(c) = 0$.

Significato geometrico

La retta per i punti $P_a = (a, f(a))$ e $P_b = (b, f(b))$ (la corda) ha equazione $$y = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$$ e la sua pendenza è $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Il teorema dice che c'è un punto $c$ tra $a$ e $b$ in cui la retta tangente al grafico è parallela alla corda (stessa pendenza).

Significato fisico. Se $s(t)$ è la posizione di un'auto, $\frac{s(b) - s(a)}{b - a}$ è la velocità media nel viaggio: in almeno un istante $c$ la velocità istantanea $s'(c)$ è uguale alla velocità media. Se in un'ora si sono fatti $90$ km, almeno una volta il tachimetro ha segnato esattamente $90$ km/h.

Esempio numerico. $f(x) = x^2$ su $[0, 2]$: la corda ha pendenza $\frac{4 - 0}{2 - 0} = 2$, e $f'(c) = 2c = 2$ per $c = 1 \in \,]0, 2[$.

Dimostrazione

L'idea è applicare Rolle alla distanza verticale tra il grafico e la corda, che vale $0$ in entrambi gli estremi. Si definisce $g: [a, b] \to \mathbb{R}$, $$g(x) = f(x) - \left[f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)\right]$$

1. $g$ è continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$, perché lo sono $f$ e il polinomio di primo grado tra parentesi.
2. $g(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0$ e $g(b) = f(b) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - a) = 0$. Quindi $g(a) = g(b)$.

Per Rolle esiste $c \in \,]a, b[$ con $g'(c) = 0$. Derivando ($f(a)$ e $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ sono costanti, e $D(x - a) = 1$): $$g'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0 \iff f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \qquad ∎$$

Attenzione: il teorema dice che $c$ esiste, non dice dove sia né quanti siano. Nelle applicazioni non serve trovarlo: basta sapere che c'è.

Prima conseguenza: le funzioni con derivata nulla

Caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$. Allora $$f \text{ è costante in } [a, b] \iff f'(x) = 0 \quad \forall x \in \,]a, b[$$

Dimostrazione.

• ($\Rightarrow$) La derivata di una costante è $0$: è noto.
• ($\Leftarrow$) È la parte nuova. "$f$ costante" vuol dire che $f(x_1) = f(x_2)$ per ogni coppia di punti $x_1 < x_2$ di $[a, b]$. Presi due punti così, si applica Lagrange a $f$ sull'intervallo $[x_1, x_2]$ (le ipotesi valgono perché $[x_1, x_2] \subseteq [a, b]$): esiste $c \in \,]x_1, x_2[$ con $$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c) = 0$$ (l'ultimo uguale per ipotesi). Quindi $f(x_2) - f(x_1) = 0$, cioè $f(x_1) = f(x_2)$ ∎.

Questo risultato è quello che garantisce, nel calcolo integrale, che due primitive di una stessa funzione su un intervallo differiscono per una costante (vedi Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →).

Attenzione: vale solo su un intervallo

Se il dominio $X$ non è un intervallo, $f'(x) = 0$ per ogni $x$ interno non implica che $f$ sia costante.

Controesempio: $f(x) = \arctan x + \arctan\frac1x$.

• Dominio: $x \ne 0$, cioè $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, che non è un intervallo.
• Derivata (con la regola della catena, $D\frac1x = -\frac{1}{x^2}$): $$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{\frac{x^2 + 1}{x^2}\cdot x^2} = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0 \qquad \forall x \ne 0$$
• Però $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\frac\pi2 + \arctan 0 = -\frac\pi2$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac\pi2$: i valori sono diversi, quindi $f$ non è costante.

Che cosa succede: su ciascuno dei due intervalli $]-\infty, 0[$ e $]0, +\infty[$ la caratterizzazione si applica e $f$ è costante, ma con costanti diverse: $$\arctan x + \arctan\frac1x = \begin{cases} \dfrac\pi2 & x > 0 \\[2mm] -\dfrac\pi2 & x < 0 \end{cases}$$ (i valori si trovano calcolando $f(1) = \frac\pi4 + \frac\pi4 = \frac\pi2$ e $f(-1) = -\frac\pi2$). $f$ è costante a tratti.

In generale: se $f' = 0$ su un insieme che non è un intervallo, $f$ è costante su ogni intervallo contenuto nel dominio, ma può avere costanti diverse su intervalli disgiunti.

Seconda conseguenza: il test di monotonia

La conseguenza più importante di Lagrange è che il segno della derivata decide se la funzione cresce o decresce: è il Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi →. Un'altra è la Formula di Taylor con resto di LagrangeSe f ha n+1 derivate continue su [a,b], l'errore tra f e il suo polinomio di Taylor si scrive esattamente come f^(n+1)(c)(x-x0)^(n+1)/(n+1)! per un c opportuno: serve a stimare l'errore su tutto un intervallo e a scegliere il grado del polinomio.Formula di Taylor con resto di Lagrange →, di cui il teorema di Lagrange è il caso $n = 0$.

Errori comuni

• Usare Rolle senza controllare $f(a) = f(b)$, oppure senza controllare continuità e derivabilità (vedi i controesempi).
• Pensare che il teorema dica quanto vale $c$: dice solo che esiste.
• Concludere "$f' = 0$ quindi $f$ costante" su un dominio che non è un intervallo ($\arctan x + \arctan\frac1x$).