Esercizio 80sviluppo di arctan(x + x³ e un limite

Testo (Lezione 28, esercizio 4). Scrivere lo sviluppo di Mac-Laurin al terzo ordine di $\arctan(x + x^3)$ per $x \to 0$. Calcolare $$\lim_{x \to 0}\frac{\arctan(x + x^3) - x}{x^3}$$

Teoria: Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli → (sviluppo di una funzione composta).

Lo sviluppo di una funzione composta

L'arcotangente ha lo sviluppo noto $\arctan y = y - \frac13 y^3 + o(y^3)$ per $y \to 0$. Qui l'argomento non è $x$ ma $y = x + x^3$, che tende a $0$ per $x \to 0$: quindi si può sostituire.

Passo 1: porre $y = x + x^3 \to 0$.

Passo 2: sostituire nello sviluppo di $\arctan y$. $$\arctan(x + x^3) = (x + x^3) - \frac13(x + x^3)^3 + o\big((x + x^3)^3\big)$$

Passo 3: tenere solo le potenze di $x$ di grado $\le 3$.

• $(x + x^3)^3 = x^3 + 3x^5 + 3x^7 + x^9 = x^3 + o(x^3)$: dal cubo serve solo $x^3$;
• $o\big((x + x^3)^3\big) = o(x^3)$, perché $(x + x^3)^3 \sim x^3$ (un o-piccolo di una funzione asintotica a x³ è un o-piccolo di x³Se g ~ h, allora o(g) = o(h): dividere per g o per h dà lo stesso limite a meno di un fattore che tende a 1.).

Quindi $$\arctan(x + x^3) = x + x^3 - \frac13 x^3 + o(x^3) = x + \frac23 x^3 + o(x^3)$$ (il coefficiente di $x^3$ è $1 - \frac13 = \frac23$).

Perché si è sviluppato $\arctan y$ fino a $y^3$. Si vuole l'ordine $3$ in $x$; siccome $y \sim x$, una potenza $y^k$ contribuisce da $x^k$ in su. Il termine successivo, $\frac15 y^5$, inizia da $x^5$: non serve.

Verifica (con Python): lo sviluppo completo è $x + \frac23 x^3 - \frac45 x^5 + o(x^6)$ ✓.

Il limite

$$\lim_{x \to 0}\frac{\arctan(x + x^3) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{x + \frac23 x^3 + o(x^3) - x}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac23 x^3 + o(x^3)}{x^3} = \frac23$$

Errore frequente

Usare l'asintotico $\arctan(x + x^3) \sim x + x^3$ (cioè $\arctan y \sim y$) dentro la differenza: $$\lim_{x \to 0}\frac{(x + x^3) - x}{x^3} = 1 \qquad \text{SBAGLIATO}$$ Il motivo: $\arctan y = y + o(y)$, e $o(y) = o(x + x^3) = o(x)$. Scrivendo $\arctan(x + x^3) = x + x^3 + o(x)$, il termine $x^3$ è dentro l'$o(x)$ e non significa niente: si è buttato via il $-\frac13 x^3$, che è dello stesso ordine e cambia il risultato da $1$ a $\frac23$. In una differenza in cui i termini principali si cancellano, si usa lo sviluppo con l'o-piccolo e lo si porta abbastanza avanti.