Lezione 28Fermat, Rolle, Lagrange e test di monotonia

Data: venerdì 14 novembre 2025 · Videolezione: n. 29 della playlist ("Lezione 28", 1h39)

Argomenti trattati

1. Massimi e minimi assoluti e relativi; dove cercarli (estremi, punti di non derivabilità, punti interni con tangente orizzontale); condizioni necessarie e sufficienti.
2. Teorema di Fermat (condizione necessaria, con dimostrazione); $x^3$ in $0$ mostra che non è sufficiente; punti critici o stazionari.
3. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: teorema di Rolle (dimostrazione con Weierstrass e Fermat) e teorema di Lagrange (significato geometrico e dimostrazione con Rolle).
4. Caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo; il controesempio $\arctan x + \arctan\frac1x$, costante solo a tratti.
5. Test di monotonia per funzioni derivabili (con dimostrazione); $x^3$ è strettamente crescente con $f'(0) = 0$; condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi, anche nei punti di non derivabilità e negli estremi; il controesempio $x^2\left(2 + \sin\frac1x\right)$.
6. Esercizio: sviluppo di Mac-Laurin di $\arctan(x + x^3)$ e l'errore frequente.

Teoria

• Massimi e minimi relativi e teorema di Fermatx0 è punto di minimo (massimo) relativo se f(x0) ≤ f(x) (≥) per gli x del dominio vicini a x0. I candidati sono gli estremi del dominio, i punti dove f non è derivabile e i punti interni con f'(x0) = 0 (punti critici o stazionari). Teorema di Fermat: in un punto interno di minimo o massimo relativo dove f è derivabile, f'(x0) = 0. È solo una condizione necessaria: x³ in 0.Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat →
• Teoremi di Rolle e di LagrangeRolle: f continua su [a,b], derivabile in ]a,b[, f(a) = f(b) ⇒ esiste c in ]a,b[ con f'(c) = 0. Lagrange (valor medio): stesse ipotesi senza f(a) = f(b) ⇒ esiste c con f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a): la tangente in c è parallela alla corda. Conseguenza: su un intervallo f è costante se e solo se f' = 0; su un insieme che non è un intervallo è solo costante a tratti (arctan x + arctan(1/x)).Teoremi di Rolle e di Lagrange →
• Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi →

Esercizi

• Esercizio 80 · sviluppo di arctan(x + x³ e un limite — esercizio 4