Lezione 48Variabili separabili ed esercizi di ricapitolazione

Data: lunedì 22 dicembre 2025 · Videolezione: n. 49 della playlist ("Lezione 48", 1h45)

Argomenti trattati

1. Equazioni a variabili separabili: teorema di esistenza e unicità locale (con $b$ solo continua la soluzione può non essere unica; con $b \in C^1$ è unica ma l'intervallo massimale può essere più piccolo); metodo risolvente con gli integrali singolari (soluzioni costanti) e la separazione delle variabili; come trovare l'intervallo massimale.
2. Esercizi: una soluzione che esplode in tempo finito (esercizio 11); infinite soluzioni per $y' = \sqrt[3]{y}$ con $y(1) = 0$ (esercizio 12); integrali singolari e fratti semplici (esercizio 13); un problema di Cauchy con l'esponenziale (esercizio 14); un'equazione sia separabile sia lineare, meglio risolta come lineare (esercizio 15); la sostituzione $z = \frac yt$, fuori programma (esercizio 16).
3. Equazioni lineari del secondo ordine: una soluzione particolare data dal testo (esercizio 17); il principio di sovrapposizione, con risonanza in uno solo dei due termini (esercizio 18).
4. Nel PDF, dopo la fine della lezione: dimostrazione del principio di sovrapposizione (non richiesta) e gli esercizi 19 e 20, con domande qualitative sulle soluzioni.

Teoria

• Equazioni differenziali a variabili separabiliy' = a(t) b(y) con a continua su I e b continua su J. Gli zeri ȳ di b danno le soluzioni costanti y = ȳ (integrali singolari). Le altre si trovano dividendo per b(y) e integrando: ∫dy/b(y) = ∫a(t)dt + c, poi si ricava y. Se b è C¹ la soluzione del problema di Cauchy è unica, ma può esistere solo su un intervallo più piccolo di I; se b è solo continua può non essere unica (y' = ∛y).Equazioni differenziali a variabili separabili →
• Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → — paragrafo "Principio di sovrapposizione"

Esercizi

• Esercizio 168 · y' = t y² e y' = radice cubica di y — esercizi 11 e 12
• Esercizio 169 · y' = (y² - 3y - 4)/(3t²+1) e y' = log t per e^y — esercizi 13 e 14 (corretta la costante dell'esercizio 14: $c = e^5 - 1$)
• Esercizio 170 · un problema di Cauchy con parametro e la sostituzione z = y/t — esercizi 15 e 16 (corretto un fattore $3$ perso nell'esercizio 16)
• Esercizio 171 · soluzione nota e principio di sovrapposizione — esercizi 17 e 18
• Esercizio 172 · domande qualitative su soluzioni limitate, periodiche e illimitate — esercizi 19 e 20 (con alcune risposte del PDF corrette)