Lezione 46Lineari del secondo ordine e coefficienti costanti omogenee

Data: giovedì 18 dicembre 2025 · Videolezione: n. 47 della playlist ("Lezione 46", 51 min)

Argomenti trattati

1. Equazioni lineari del secondo ordine: forma, equazione omogenea e completa; teorema di esistenza e unicità globale per il problema di Cauchy.
2. Struttura dell'integrale generale: funzioni linearmente indipendenti; l'integrale generale dell'omogenea è $c_1 y_1 + c_2 y_2$ con $y_1, y_2$ soluzioni l.i. (dimostrata la prima parte); il determinante wronskiano; l'integrale generale della completa è $y_p + c_1 y_1 + c_2 y_2$ (con dimostrazione); la stessa struttura per ogni ordine, compreso il primo.
3. Coefficienti costanti, caso omogeneo: polinomio caratteristico e i tre casi $\Delta > 0$, $\Delta = 0$, $\Delta < 0$; dimostrazione del caso $\Delta > 0$ con il wronskiano; idea del caso complesso con le formule di Eulero.
4. Esercizi: problema di Cauchy con due radici reali (esercizio 5); $y'' - 3y' = 0$ e l'oscillatore smorzato $y'' + y' + 2y = 0$ (esercizio 6 (a), (b)).

Teoria

• Equazioni differenziali lineari del secondo ordiney'' + a1(t)y' + a0(t)y = b(t) con coefficienti continui su un intervallo: le soluzioni sono definite su tutto l'intervallo e il problema di Cauchy con y(t0), y'(t0) ha una sola soluzione. L'integrale generale dell'omogenea è c1 y1 + c2 y2 con y1, y2 soluzioni linearmente indipendenti (controllo con il wronskiano); quello della completa è yp + c1 y1 + c2 y2, con yp una soluzione particolare. Stessa struttura per ogni ordine n.Equazioni differenziali lineari del secondo ordine →
• Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →

Esercizi

• Esercizio 162 · y'' + 4y' - 5y = 0 con y(0) = -2 e y'(0) = 1 — esercizio 5 (corretto un errore di segno del PDF: $c_1 = -\frac32$)
• Esercizio 163 · y'' - 3y' = 0, y'' + y' + 2y = 0 e y'' + 6y' + 9y = 0 — esercizio 6 (a), (b); il punto (c) è della lezione 47