Lezione 47Coefficienti costanti, equazione completa e variabili separabili

Data: venerdì 19 dicembre 2025 · Videolezione: n. 48 della playlist ("Lezione 47", 1h44)

Argomenti trattati

1. Fine degli esercizi sul caso omogeneo: $y'' + 6y' + 9y = 0$ con radice doppia (esercizio 6 (c)); il polinomio caratteristico per equazioni di ordine $3$ e $4$, con una radice tripla (esercizio 7).
2. Equazione completa a coefficienti costanti: l'integrale generale è $y_0 + y_p$; il metodo di somiglianza per $b(t) = Q_m(t)e^{\alpha t}\cos(\omega t)$ (o $\sin$), con $\bar\lambda = \alpha + i\omega$; il fenomeno della risonanza quando $\bar\lambda$ è radice del polinomio caratteristico; i casi particolari (polinomio, polinomio per esponenziale, coseno).
3. Esercizi sull'equazione completa: termine noto polinomiale con problema di Cauchy (esercizio 8); risonanza con un parametro (esercizio 9); l'oscillatore armonico forzato e la risonanza per $h = 4$ (esercizio 10).
4. Inizio delle equazioni a variabili separabili $y' = a(t)\,b(y)$: esempi e non esempi.

Teoria

• Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo → — il metodo per ogni ordine
• Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa →
• Equazioni differenziali a variabili separabiliy' = a(t) b(y) con a continua su I e b continua su J. Gli zeri ȳ di b danno le soluzioni costanti y = ȳ (integrali singolari). Le altre si trovano dividendo per b(y) e integrando: ∫dy/b(y) = ∫a(t)dt + c, poi si ricava y. Se b è C¹ la soluzione del problema di Cauchy è unica, ma può esistere solo su un intervallo più piccolo di I; se b è solo continua può non essere unica (y' = ∛y).Equazioni differenziali a variabili separabili → — la forma (il metodo è della lezione 48)

Esercizi

• Esercizio 163 · y'' - 3y' = 0, y'' + y' + 2y = 0 e y'' + 6y' + 9y = 0 — esercizio 6 (c)
• Esercizio 164 · equazioni omogenee di ordine 3 e 4 — esercizio 7
• Esercizio 165 · y'' - 4y' + 4y = 1 + t² con condizioni iniziali — esercizio 8
• Esercizio 166 · y'' + ay' = -1 al variare di a — esercizio 9
• Esercizio 167 · oscillatore armonico forzato e risonanza — esercizio 10