Teorema del limite della derivata

Lezione 27. Prerequisiti: Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato → (derivata destra e sinistra, punti angolosi), Teorema di de l'HôpitalPer una forma 0/0 o ·/∞, se esiste il limite di f'/g' allora esiste anche quello di f/g ed è lo stesso. Vale anche per limiti destri, sinistri e all'infinito. Se il limite di f'/g' non esiste non si può concludere nulla. Serve a calcolare limiti (da solo o dopo uno sviluppo di Mac-Laurin) e a studiare la derivabilità.Teorema di de l'Hôpital →.

È la seconda applicazione di de l'Hôpital: un modo comodo per decidere se una funzione è derivabile in un punto "delicato" $x_0$ (il punto di raccordo di una funzione definita a tratti, lo zero dentro un valore assoluto, …), senza calcolare il limite del rapporto incrementale.

Enunciato

Corollario (sulla derivabilità). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ continua in $(a, b)$ e derivabile in $]a, b[ \setminus \{x_0\}$, con $x_0 \in \,]a, b[$. Allora:

1. se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$, si ha $f'(x_0^-) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$; se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$, si ha $f'(x_0^+) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$;
2. di conseguenza, quando i due limiti esistono, $$f \text{ è derivabile in } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^-} f'(x) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) \in \mathbb{R}$$ e in tal caso $f'(x_0) = \displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x)$.

In parole: per una funzione continua, la pendenza della tangente da destra in $x_0$ è il limite delle pendenze delle tangenti nei punti a destra di $x_0$.

Dimostrazione (per il limite destro; il sinistro è uguale). Per definizione $$f'(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

• Il denominatore $x - x_0 \to 0$.
• Il numeratore $f(x) - f(x_0) \to 0$ perché $f$ è continua in $x_0$.

È una forma $\frac00$ e numeratore e denominatore sono derivabili per $x > x_0$: si applica de l'Hôpital. La derivata del numeratore (rispetto a $x$; $f(x_0)$ è una costante) è $f'(x)$, quella del denominatore è $1$: $$f'(x_0^+) \overset{H}{=} \lim_{x \to x_0^+}\frac{f'(x)}{1} = \lim_{x \to x_0^+} f'(x)$$ e il passaggio è lecito perché per ipotesi quest'ultimo limite esiste ∎.

Tre osservazioni importanti

1. Senza continuità è falso. Se $f$ non è continua in $x_0$ il numeratore non tende a $0$, de l'Hôpital non si può usare e può succedere che $f'(x_0^-) \ne \lim_{x \to x_0^-} f'(x)$. È l'esempio della funzione con un salto già visto in Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →: $$f(x) = \begin{cases} x + 1 & x \ge 0 \\ x - 1 & x < 0 \end{cases}, \qquad f(0) = 1$$

• $f'(x) = 1$ per ogni $x \ne 0$, quindi $\lim_{x \to 0^\pm} f'(x) = 1$;
• $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+}\frac{(x + 1) - 1}{x} = 1$, d'accordo con il limite di $f'$;
• $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-}\frac{(x - 1) - 1}{x} = \frac{-2}{0^-} = +\infty \ne 1$.

Da sinistra il teorema sbaglia proprio perché $f$ non è continua da sinistra in $0$. Prima di usare il corollario si controlla sempre la continuità.

2. Se i limiti di $f'$ non esistono, non si conclude nulla. Possono esistere lo stesso $f'(x_0^+)$, $f'(x_0^-)$ e perfino $f'(x_0)$: vanno calcolati con il limite del rapporto incrementale. L'esempio classico è $$f(x) = \begin{cases} x^2\sin\frac1x & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$ che è derivabile in $0$ con $f'(0) = 0$, mentre $f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ non ha limite per $x \to 0$ (svolto nell'Esercizio 79 · x² sin(1/x) e modulo di x alla a per sin(1/x)).

3. Se i limiti di $f'$ esistono uguali e finiti, si ottiene di più. Si ha $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x)$: $f$ è derivabile in $x_0$ e la derivata $f'$ è continua in $x_0$. Nell'esempio della nota 2 invece $f$ è derivabile in $0$ ma $f'$ non è continua in $0$.

Come si usa: il metodo

Per decidere se $f$ è derivabile in un punto $x_0$:

1. Continuità in $x_0$: controllare che $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Se $f$ non è continua, non è derivabile e si è finito.
2. Derivata fuori da $x_0$: calcolare $f'(x)$ per $x \ne x_0$ (a destra e a sinistra, se $f$ è definita a tratti).
3. Limiti di $f'$: calcolare $\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$ e $\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$.
   • uguali e finiti: $f$ derivabile in $x_0$, con quella derivata;
   • finiti e diversi: punto angoloso;
   • entrambi $+\infty$ (o entrambi $-\infty$): flesso a tangente verticale; uno $+\infty$ e l'altro $-\infty$: cuspide;
   • uno dei due non esiste: si torna al rapporto incrementale.

Le stesse regole servono nello Studio di funzioneLo schema dello studio di funzione: (a) dominio, simmetrie, periodicità, segno; (b) limiti alla frontiera, asintoti, prolungamenti; (c) f': monotonia, massimi e minimi, inf e sup, derivabilità (limiti di f' nei punti delicati); (d) f'': convessità e flessi. I limiti di f' si calcolano dove f è continua ma f' non è definita, negli estremi del dominio e dove f ha un limite finito senza essere definita: danno la pendenza con cui il grafico arriva.Studio di funzione → per capire con che pendenza il grafico arriva in un estremo del dominio.

Funzioni di classe $C^0$ e $C^1$

Sia $I$ un intervallo.

• $C^0(I) = C(I) = \{f: I \to \mathbb{R} : f \text{ continua in } I\}$;
• $C^1(I) = \{f: I \to \mathbb{R} : f \text{ derivabile in } I \text{ e } f' \text{ continua in } I\}$.

• Se $I$ è aperto ($\mathbb{R}$, $]a, b[$, …) "derivabile in $I$" ha il significato solito.
• Se $I = [a, b]$ è chiuso, negli estremi si usano le derivate unilaterali: $f \in C^1([a, b])$ vuol dire che $f$ è derivabile in $]a, b[$, che esistono finite $f'(a^+)$ e $f'(b^-)$, e che la funzione $f'$ così definita su tutto $[a, b]$ è continua.

Valgono le inclusioni $$C^1(I) \subsetneq \{f \text{ derivabili in } I\} \subsetneq C^0(I)$$

• derivabile implica continua (prima inclusione nel secondo insieme), ma $|x|$ è continua e non derivabile in $0$;
• $C^1$ implica derivabile per definizione, ma $x^2\sin\frac1x$ (prolungata con $0$ in $0$) è derivabile su $\mathbb{R}$ e non è $C^1(\mathbb{R})$.

Come si controlla che una funzione a tratti sia $C^1$. Di solito nei singoli tratti $f$ è composta da funzioni elementari, quindi è derivabile con derivata continua; resta da controllare il punto di raccordo $x_0$. Per l'osservazione 3 basta che $f$ sia continua in $x_0$ e che $\lim_{x \to x_0^-} f'(x) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) \in \mathbb{R}$. Esempi nell'Esercizio 79 · x² sin(1/x) e modulo di x alla a per sin(1/x) e nell'Esercizio 82 · trovare a e b perché una funzione a tratti sia di classe C1.

Errori comuni

• Usare il limite di $f'$ senza aver controllato la continuità (vedi la funzione con il salto).
• Concludere "non derivabile" perché $\lim f'$ non esiste: con $x^2\sin\frac1x$ la funzione è derivabile lo stesso.
• Confondere "derivabile" con "di classe $C^1$": la seconda chiede anche la continuità di $f'$.