Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Lezione 45. Prerequisiti: Equazioni differenziali - introduzione e problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy →, Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →, Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →.

La forma

Un'equazione differenziale lineare del primo ordine è $$y' + a(t)\,y = b(t), \qquad a, b \in C(I), \ I \text{ intervallo}$$

È un caso particolare di $y' = f(t, y)$ con $f(t, y) = -a(t)\,y + b(t)$: la $y$ compare solo alla prima potenza, moltiplicata per una funzione di $t$, più un termine che dipende solo da $t$. Se $b = 0$ l'equazione si dice omogenea.

Come riconoscerla: si isola $y'$ e si guarda se il secondo membro è "una funzione di $t$ per $y$, più una funzione di $t$".

(Attenzione al segno: con la forma $y' + a(t)y = b(t)$, il coefficiente $a(t)$ è l'opposto di quello che moltiplica $y$ quando $y'$ è isolata.)

Esistenza e unicità

Teorema 1 (esistenza e unicità globale, senza dimostrazione). Siano $a, b \in C(I)$, con $I$ intervallo.

• L'integrale generale di $y' + a(t)\,y = b(t)$ è fatto di funzioni $y \in C^1(I)$, definite sullo stesso intervallo $I$ di $a$ e $b$.
• Per ogni condizione iniziale $x_0 \in \mathbb{R}$ in un istante $t_0 \in I$, il problema di Cauchy $$\begin{cases} y' + a(t)\,y = b(t) \\ y(t_0) = x_0 \end{cases}$$ ha una e una sola soluzione $y \in C^1(I)$.

Il teorema dice due cose: la soluzione del problema di Cauchy è unica, e il suo intervallo massimale si conosce subito: è il più grande intervallo contenente $t_0$ su cui sono definite (e continue) $a$ e $b$. Per le equazioni non lineari non è così (la soluzione può "esplodere" prima).

Il metodo risolvente

Teorema 2. Siano $a, b \in C(I)$, $I$ intervallo.

1. L'integrale generale di $y' + a(t)\,y = b(t)$ è $$y(t) = e^{-A(t)}\left[c + \int e^{A(t)}\,b(t)\,dt\right] \qquad \forall c \in \mathbb{R}$$ dove $A(t) = \int a(t)\,dt$ è una primitiva di $a$ (senza costante) e $\int e^{A(t)}b(t)\,dt$ è una primitiva di $e^{A(t)}b(t)$ (senza costante: l'unica costante è $c$).
2. La soluzione del problema di Cauchy con $y(t_0) = x_0$, $t_0 \in I$, è $$y(t) = e^{-A(t)}\left[x_0 + \int_{t_0}^t e^{A(s)}\,b(s)\,ds\right], \qquad A(t) = \int_{t_0}^t a(s)\,ds$$ (così $A(t_0) = 0$).

Dimostrazione

1. Sia $y \in C^1(I)$ una soluzione: $$y'(t) + a(t)\,y(t) = b(t) \qquad \forall t \in I \tag{$*$}$$ Il trucco è moltiplicare per il fattore integrante $e^{A(t)}$, con $A$ primitiva di $a$ (è sempre positivo, quindi si ottiene un'equazione equivalente): $$e^{A(t)}\,y'(t) + e^{A(t)}\,a(t)\,y(t) = e^{A(t)}\,b(t)$$ Il primo membro è la derivata di un prodotto: per la regola del prodotto e quella della catena ($A' = a$), $$\frac{d}{dt}\left(e^{A(t)}\,y(t)\right) = e^{A(t)}\,a(t)\,y(t) + e^{A(t)}\,y'(t)$$ che è proprio il primo membro. Quindi l'equazione diventa $$\frac{d}{dt}\left(e^{A(t)}\,y(t)\right) = e^{A(t)}\,b(t)$$ Le due funzioni $e^{A(t)}y(t)$ e $\int e^{A(t)}b(t)\,dt$ hanno la stessa derivata sull'intervallo $I$, quindi (le primitive di una funzione su un intervallo differiscono per una costante) esiste $c \in \mathbb{R}$ con $$e^{A(t)}\,y(t) = \int e^{A(t)}\,b(t)\,dt + c$$ Moltiplicando per $e^{-A(t)}$ si ottiene la formula 1. (Viceversa, derivando si controlla che ogni funzione di quella forma risolve l'equazione.)

2. Si sceglie la primitiva $A(t) = \int_{t_0}^t a(s)\,ds$, che vale $0$ in $t_0$. Come sopra si arriva a $\frac{d}{ds}\left(e^{A(s)}y(s)\right) = e^{A(s)}b(s)$, ma ora si integra in modo definito tra $t_0$ e $t$ (per il teorema fondamentale del calcolo integrale): $$\int_{t_0}^t \frac{d}{ds}\left(e^{A(s)}\,y(s)\right)ds = e^{A(t)}\,y(t) - e^{A(t_0)}\,y(t_0) = e^{A(t)}\,y(t) - x_0$$ (con $e^{A(t_0)} = e^0 = 1$ e $y(t_0) = x_0$). Uguagliando a $\int_{t_0}^t e^{A(s)}b(s)\,ds$ e moltiplicando per $e^{-A(t)}$ si ottiene la formula 2 ∎.

In pratica non serve ricordare la formula 2: si trova l'integrale generale con la formula 1 e poi si sceglie $c$ in modo che $y(t_0) = x_0$.

Il caso omogeneo

Se $b = 0$ l'integrale nella formula vale $0$ e resta $$y' + a(t)\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(t) = c\,e^{-A(t)}, \qquad A(t) = \int a(t)\,dt, \ c \in \mathbb{R}$$

Il modello di Malthus

$y' = a\,y$ si scrive $y' - a\,y = 0$: è lineare omogenea, con coefficiente costante $-a$ al posto di $a(t)$ e $I = \mathbb{R}$. Una primitiva di $-a$ è $-at$, quindi $$y(t) = c\,e^{at} \qquad \forall c \in \mathbb{R},\ \forall t \in \mathbb{R}$$

• $a = 0$: popolazione costante;
• $a > 0$: crescita esponenziale;
• $a < 0$: decrescita esponenziale (estinzione).

Il problema: $a = 3$, $t_0 = 0$, $x_0 = 50$ abitanti. Da $y(t) = c\,e^{3t}$ e $y(0) = c\,e^0 = c = 50$: $$y(t) = 50\,e^{3t}, \qquad y(100) = 50\,e^{300}$$ un numero enorme ($e^{300} \approx 2\cdot 10^{130}$): il modello di Malthus va bene solo per tempi brevi, perché non tiene conto delle risorse limitate.

Un trucco: equazioni del secondo ordine senza $y$

Se in un'equazione del secondo ordine compaiono solo $y''$ e $y'$ (non $y$), si pone $v = y'$: allora $v' = y''$ e l'equazione diventa del primo ordine in $v$. Trovata $v$, si ottiene $y$ integrando una volta. Esempio nell'Esercizio 161 · y' - y/t = radice di t e un'equazione del secondo ordine senza y.

Errori comuni

• Sbagliare il segno di $a(t)$: la formula vale per la forma $y' + a(t)y = b(t)$. Con $y' = \frac{y}{t} + \dots$ si ha $a(t) = -\frac1t$.
• Aggiungere costanti in $A(t)$ o in $\int e^{A}b$: l'unica costante è $c$. Una costante in $A$ moltiplicherebbe $c$ e il risultato non cambierebbe, ma si complicano i conti.
• Mettere $c$ fuori dalla parentesi: $e^{-A}\left[c + \int e^Ab\right]$ non è $c\,e^{-A} \cdot \int e^Ab$.
• Dimenticare l'intervallo: con $a(t) = -\frac1t$ la soluzione vive su $]0, +\infty[$ oppure su $]-\infty, 0[$, secondo dove sta $t_0$.