Esercizio 168y' = t y² e y' = radice cubica di y

Testo (Lezione 48, esercizi 11 e 12 del foglio). 11. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $y'(t) = t\,y^2(t)$. Determinare la soluzione tale che $y(0) = 1$ e il suo intervallo massimale di definizione. 12. Risolvere il problema di Cauchy $\begin{cases} y'(t) = \sqrt[3]{y(t)} \\ y(1) = 0 \end{cases}$ e determinare l'intervallo massimale di definizione.

Teoria: Equazioni differenziali a variabili separabiliy' = a(t) b(y) con a continua su I e b continua su J. Gli zeri ȳ di b danno le soluzioni costanti y = ȳ (integrali singolari). Le altre si trovano dividendo per b(y) e integrando: ∫dy/b(y) = ∫a(t)dt + c, poi si ricava y. Se b è C¹ la soluzione del problema di Cauchy è unica, ma può esistere solo su un intervallo più piccolo di I; se b è solo continua può non essere unica (y' = ∛y).Equazioni differenziali a variabili separabili →.

11. $y' = t\,y^2$

È a variabili separabili: $a(t) = t$ su $I = \mathbb{R}$, $b(y) = y^2$ su $J = \mathbb{R}$, e $b \in C^1(\mathbb{R})$ (quindi la soluzione del problema di Cauchy è unica).

Integrale generale

1. Integrali singolari. $b(y) = y^2 = 0 \iff y = 0$: c'è un'unica soluzione costante, $$y(t) = 0 \qquad \forall t \in \mathbb{R}$$

2. Soluzioni con $y(t) \ne 0$. Si divide per $y^2$ e si integra in $t$: $$\frac{y'(t)}{y^2(t)} = t \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{dy}{y^2} = \int t\,dt \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{y(t)} = \frac12 t^2 + c$$ (a sinistra la sostituzione $y = y(t)$, $dy = y'(t)\,dt$, e $\int y^{-2}\,dy = -y^{-1}$). Si ricava $y$: $$\frac{1}{y(t)} = -\frac{t^2 + 2c}{2} = \frac{k - t^2}{2} \quad (k = -2c) \quad\Longrightarrow\quad y(t) = \frac{2}{k - t^2}, \qquad k \in \mathbb{R}$$ (la costante $k = -2c$ è ancora un numero reale qualsiasi: rinominarla semplifica la formula).

Integrale generale: $y(t) = 0$ e $y(t) = \frac{2}{k - t^2}$, $k \in \mathbb{R}$.

Problema di Cauchy con $y(0) = 1$

Prima domanda: $b(x_0) = 0$? $b(1) = 1 \ne 0$, quindi la soluzione non è la costante $0$: si usa la formula. $$y(0) = \frac{2}{k} = 1 \iff k = 2, \qquad y(t) = \frac{2}{2 - t^2}$$

Intervallo massimale. La formula ha senso per $t \ne \pm\sqrt2$, cioè sull'insieme $]-\infty, -\sqrt2[ \,\cup\, ]-\sqrt2, \sqrt2[ \,\cup\, ]\sqrt2, +\infty[$, che non è un intervallo. Si prende il più grande intervallo che contiene $t_0 = 0$: $$I_{\max} = \mathbb{R} \cap \,]-\sqrt2, \sqrt2[ \,= \,]-\sqrt2, \sqrt2[$$ Il grafico parte da $y(0) = 1$ (il minimo) e va a $+\infty$ per $t \to \pm\sqrt2$: la soluzione esplode in tempo finito.

Coerenza con il teorema. $b = y^2 \in C^1(\mathbb{R})$, quindi la soluzione è unica; ma né $b = y^2$ né $b' = 2y$ sono limitate, e infatti $I_{\max} \subsetneq I = \mathbb{R}$ (caso 2 del teorema).

Verifica (con Python, dsolve): $y = -\frac{2}{t^2 - 2}$ ✓.

12. $y' = \sqrt[3]{y}$, $y(1) = 0$

A variabili separabili con $a(t) = 1$ su $I = \mathbb{R}$ e $b(y) = \sqrt[3]{y}$ su $J = \mathbb{R}$. Ma attenzione: $b$ è continua ma non derivabile in $y = 0$ (la radice cubica ha tangente verticale nell'origine), quindi $b \notin C^1(\mathbb{R})$.

Integrale generale

1. Integrali singolari. $\sqrt[3]{y} = 0 \iff y = 0$: soluzione costante $y(t) = 0$ per ogni $t \in \mathbb{R}$.

2. Soluzioni con $y(t) \ne 0$. $$\int\frac{dy}{y^{1/3}} = \int 1\,dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2/3}}{2/3} = t + c \quad\Longrightarrow\quad [y(t)]^{2/3} = \frac23(t + c)$$ (con $\int y^{-1/3}\,dy = \frac{y^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} = \frac32 y^{2/3}$). Elevando alla $\frac32$: $$y(t) = \left[\frac23(t + c)\right]^{3/2}, \qquad c \in \mathbb{R}$$ definita per $t \ge -c$ (la base deve essere $\ge 0$). Anche $-\left[\frac23(t + c)\right]^{3/2}$ risolve l'equazione (perché $[y]^{2/3}$ non vede il segno di $y$).

Il problema di Cauchy con $y(1) = 0$: infinite soluzioni

$b(x_0) = b(0) = 0$: la costante $y(t) = 0$ è soluzione.

Ma siamo nel caso 1 del teorema ($b$ solo continua, non $C^1$): possono esistere altre soluzioni. Infatti con $c = -1$ la formula dà $y(1) = [0]^{3/2} = 0$, e $$y(t) = \left[\frac23(t - 1)\right]^{3/2}, \qquad t \ge 1$$ è un'altra soluzione che parte da $0$ in $t = 1$. Raccordandola con la costante $0$ si ottiene una soluzione definita su tutto $\mathbb{R}$: $$y(t) = \begin{cases} 0 & t \le 1 \\ \left[\frac23(t - 1)\right]^{3/2} & t \ge 1 \end{cases}$$ (è derivabile anche in $t = 1$: la derivata da destra è $\left[\frac23(t - 1)\right]^{1/2} \to 0$, uguale a quella da sinistra). E più in generale, per ogni $c \ge 1$, $$y_c(t) = \begin{cases} 0 & t \le c \\ \left[\frac23(t - c)\right]^{3/2} & t \ge c \end{cases}$$ è una soluzione: la funzione "aspetta" in $0$ fino all'istante $c$ e poi parte.

Conclusione: il problema di Cauchy ha infinite soluzioni, tutte definite su $I_{\max} = \mathbb{R}$. È l'esempio tipico di non unicità quando $b$ non è $C^1$.

Controllo di $y = \left[\frac23(t - 1)\right]^{3/2}$: $y' = \frac32\left[\frac23(t - 1)\right]^{1/2}\cdot\frac23 = \left[\frac23(t - 1)\right]^{1/2}$, e $\sqrt[3]{y} = \left[\frac23(t - 1)\right]^{1/2}$ ✓.

Errori comuni

• Dimenticare la soluzione costante $y = 0$.
• Prendere come intervallo massimale tutto il dominio della formula ($t \ne \pm\sqrt2$): deve essere un intervallo, quello che contiene $t_0$.
• Pensare che la soluzione del problema di Cauchy sia sempre unica: in 12 il teorema di unicità non si applica perché $\sqrt[3]{y}$ non è derivabile in $0$.