Esercizio 162y'' + 4y' - 5y = 0 con y(0) = -2 e y'(0) = 1

Testo (Lezione 46, esercizio 5 del foglio). Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $$y''(t) + 4y'(t) - 5y(t) = 0$$ Determinare la soluzione tale che $y(0) = -2$ e $y'(0) = 1$.

Teoria: Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →, Equazioni differenziali lineari del secondo ordiney'' + a1(t)y' + a0(t)y = b(t) con coefficienti continui su un intervallo: le soluzioni sono definite su tutto l'intervallo e il problema di Cauchy con y(t0), y'(t0) ha una sola soluzione. L'integrale generale dell'omogenea è c1 y1 + c2 y2 con y1, y2 soluzioni linearmente indipendenti (controllo con il wronskiano); quello della completa è yp + c1 y1 + c2 y2, con yp una soluzione particolare. Stessa struttura per ogni ordine n.Equazioni differenziali lineari del secondo ordine →.

(a) Integrale generale

L'equazione è lineare, del secondo ordine, omogenea, a coefficienti costanti ($a_1 = 4$, $a_0 = -5$). Si usa il polinomio caratteristico, ottenuto sostituendo $y'' \to \lambda^2$, $y' \to \lambda$, $y \to 1$: $$p(\lambda) = \lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0$$ Con la formula ridotta (il coefficiente di $\lambda$ è pari): $$\lambda_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 5} = -2 \pm 3 = \begin{cases} 1 \\ -5 \end{cases}$$ $\Delta > 0$, due radici reali distinte $\lambda_1 = 1$ e $\lambda_2 = -5$. L'integrale generale è $$y(t) = c_1\,e^{t} + c_2\,e^{-5t} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Controllo su $e^{-5t}$: $y' = -5e^{-5t}$, $y'' = 25e^{-5t}$, e $25 - 20 - 5 = 0$ ✓.

(b) Problema di Cauchy con $y(0) = -2$, $y'(0) = 1$

Serve anche la derivata dell'integrale generale: $$y'(t) = c_1\,e^{t} - 5c_2\,e^{-5t}$$ In $t = 0$ (con $e^0 = 1$) le due condizioni danno un sistema lineare nelle incognite $c_1, c_2$: $$\begin{cases} y(0) = c_1 + c_2 = -2 \\ y'(0) = c_1 - 5c_2 = 1 \end{cases}$$ Sottraendo la seconda equazione dalla prima: $(c_1 + c_2) - (c_1 - 5c_2) = -2 - 1$, cioè $6c_2 = -3$, quindi $c_2 = -\frac12$. Dalla prima: $c_1 = -2 - c_2 = -2 + \frac12 = -\frac32$.

$$y(t) = -\frac32\,e^{t} - \frac12\,e^{-5t} \qquad \forall t \in \mathbb{R}$$

Controllo: $y(0) = -\frac32 - \frac12 = -2$ ✓; $y'(t) = -\frac32 e^t + \frac52 e^{-5t}$, quindi $y'(0) = -\frac32 + \frac52 = 1$ ✓. Lo stesso risultato si ottiene con dsolve di Python.

Nota sul PDF della lezione: lì si legge $c_1 = -c_2 - 2 = -\frac12 - 2 = -\frac52$, con un errore di segno ($-c_2 = +\frac12$, non $-\frac12$). Con $c_1 = -\frac52$ si avrebbe $y(0) = -3 \ne -2$: il valore giusto è $c_1 = -\frac32$.

Errori comuni

• Imporre le condizioni senza aver derivato l'integrale generale: la condizione su $y'(0)$ va imposta su $y'(t)$.
• Errori di segno nel sistema (vedi la nota sopra): conviene sempre controllare le due condizioni alla fine.
• Sbagliare le radici: $\lambda^2 + 4\lambda - 5 = (\lambda - 1)(\lambda + 5)$, quindi le radici sono $1$ e $-5$, non $-1$ e $5$.