Esercizio 160y' + 2ty = t e^-t2 e y' = ty su (t²+1)

Testo (Lezione 45, esercizi 1 e 4 del foglio).

1. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $y'(t) + 2t\,y(t) = t\,e^{-t^2}$. Determinare la soluzione tale che $y(1) = 5$.
2. Determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale $y'(t) = \dfrac{t\,y(t)}{t^2 + 1}$.

Teoria: Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

1.

Riconoscere l'equazione

$$y' + 2t\,y = t\,e^{-t^2}$$ è della forma $y' + a(t)\,y = b(t)$, quindi lineare del primo ordine, con

• $a(t) = 2t$, continua su $\mathbb{R}$;
• $b(t) = t\,e^{-t^2}$, continua su $\mathbb{R}$.

Per il teorema di esistenza e unicità le soluzioni sono definite su $I = \mathbb{R}$.

Integrale generale

La primitiva di $a$, senza costante: $A(t) = \int 2t\,dt = t^2$.

La formula $y(t) = e^{-A(t)}\left[c + \int e^{A(t)}b(t)\,dt\right]$: $$y(t) = e^{-t^2}\left[c + \int e^{t^2}\cdot t\,e^{-t^2}\,dt\right] = e^{-t^2}\left[c + \int t\,dt\right] = e^{-t^2}\left[c + \frac12 t^2\right]$$ Il fattore integranteÈ la funzione e^(A(t)) per cui si moltiplica l'equazione: trasforma il primo membro y' + a y nella derivata del prodotto e^(A(t)) y. $e^{t^2}$ si semplifica con $e^{-t^2}$ dentro $b$: per questo l'integrale è immediato.

$$y(t) = e^{-t^2}\left(c + \frac{t^2}{2}\right) \qquad \forall c \in \mathbb{R},\ \forall t \in \mathbb{R}$$

Controllo (sempre utile): $y' = -2t\,e^{-t^2}\left(c + \frac{t^2}{2}\right) + e^{-t^2}\cdot t$, quindi $y' + 2ty = t\,e^{-t^2}$ ✓.

Soluzione con $y(1) = 5$

Si impone la condizione ($t_0 = 1$, $x_0 = 5$) nell'integrale generale: $$y(1) = e^{-1}\left(c + \frac12\right) = 5 \iff c + \frac12 = 5e \iff c = 5e - \frac12$$ (si è moltiplicato per $e$). Quindi $$y(t) = e^{-t^2}\left(5e - \frac12 + \frac{t^2}{2}\right) \qquad \forall t \in \mathbb{R}$$

4.

Riconoscere l'equazione

Portando tutto a sinistra: $$y' - \frac{t}{t^2 + 1}\,y = 0$$ È lineare del primo ordine omogenea ($b = 0$), con $a(t) = -\frac{t}{t^2 + 1}$, continua su $I = \mathbb{R}$ (il denominatore non si annulla mai).

Integrale generale

Primitiva di $a$. Si fa comparire la derivata del denominatore ($D(t^2 + 1) = 2t$) moltiplicando e dividendo per $2$: $$A(t) = -\int\frac{t}{t^2 + 1}\,dt = -\frac12\int\frac{2t}{t^2 + 1}\,dt = -\frac12\log(t^2 + 1)$$ (integrale del tipo $\int\frac{g'}{g} = \log|g|$, e $t^2 + 1 > 0$ quindi il modulo non serve).

Formula per l'omogenea $y = c\,e^{-A(t)}$: $$y(t) = c\,e^{\frac12\log(t^2 + 1)} = c\,e^{\log\sqrt{t^2 + 1}} = c\sqrt{t^2 + 1}$$ (con $\frac12\log u = \log\sqrt u$ e $e^{\log u} = u$).

$$y(t) = c\sqrt{t^2 + 1} \qquad \forall c \in \mathbb{R},\ \forall t \in \mathbb{R}$$

Controllo: $y' = c\,\frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}$ e $\frac{t\,y}{t^2 + 1} = \frac{c\,t\sqrt{t^2 + 1}}{t^2 + 1} = \frac{c\,t}{\sqrt{t^2 + 1}}$ ✓.

Verifica (con Python, dsolve): le soluzioni coincidono ✓.

Errori comuni

• In 4, prendere $a(t) = +\frac{t}{t^2 + 1}$: l'equazione va prima scritta nella forma $y' + a(t)y = b(t)$, e il segno cambia.
• In 1, imporre la condizione iniziale su una formula senza costante (o con la costante messa fuori dalla parentesi): $c$ va dentro, sommata all'integrale.
• Dimenticare $e^{-1}$ quando si impone $y(1) = 5$.