Esercizio 81monotonia di log(1+x² - 6 arctan x + 2x

Testo (Lezione 29, esercizio 12 del foglio 12-14/11). Data $f(x) = \log(1 + x^2) - 6\arctan x + 2x$:

• studiare la monotonia di $f$ nel suo dominio;
• determinare eventuali punti di minimo e massimo relativo e assoluto, $\inf f$ e $\sup f$.

Teoria: Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi →, Massimi e minimi relativi e teorema di Fermatx0 è punto di minimo (massimo) relativo se f(x0) ≤ f(x) (≥) per gli x del dominio vicini a x0. I candidati sono gli estremi del dominio, i punti dove f non è derivabile e i punti interni con f'(x0) = 0 (punti critici o stazionari). Teorema di Fermat: in un punto interno di minimo o massimo relativo dove f è derivabile, f'(x0) = 0. È solo una condizione necessaria: x³ in 0.Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat →.

Dominio

L'unica condizione è l'argomento del logaritmo: $1 + x^2 > 0$, vero per ogni $x \in \mathbb{R}$. L'arcotangente e $2x$ sono definite ovunque. Dominio $= \mathbb{R}$, che è un intervallo: il test di monotonia si può usare.

Derivata

Termine per termine ($D\log(1 + x^2) = \frac{2x}{1 + x^2}$ per la regola della catena, $D\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$): $$f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2} - \frac{6}{1 + x^2} + 2$$ Si porta tutto a denominatore comune $1 + x^2$: $$f'(x) = \frac{2x - 6 + 2(1 + x^2)}{1 + x^2} = \frac{2x^2 + 2x - 4}{1 + x^2} = 2\cdot\frac{x^2 + x - 2}{1 + x^2}$$

Segno della derivata e monotonia

Il denominatore $1 + x^2$ è sempre positivo, e il fattore $2$ pure: il segno di $f'$ è quello di $x^2 + x - 2$.

$$x^2 + x - 2 = 0 \iff x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} = \begin{cases} 1 \\ -2 \end{cases}$$ La parabola $x^2 + x - 2$ è rivolta verso l'alto, quindi è positiva fuori dalle radici e negativa tra le radici:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & & -2 & & 1 & \\ \hline f' & + & 0 & - & 0 & + \\ f & \nearrow & \text{max rel.} & \searrow & \text{min rel.} & \nearrow \end{array}$$

Per il test di monotonia:

• $f$ è strettamente crescente in $]-\infty, -2]$;
• strettamente decrescente in $[-2, 1]$;
• strettamente crescente in $[1, +\infty[$.

Quindi, per le condizioni sufficienti (cambio di segno di $f'$):

• $x_0 = -2$ è un punto di massimo relativo stretto ($f'$ passa da $+$ a $-$);
• $x_1 = 1$ è un punto di minimo relativo stretto ($f'$ passa da $-$ a $+$).

Limiti a $\pm\infty$, inf e sup

Per capire se quei massimi e minimi sono anche assoluti servono i limiti agli estremi del dominio.

• $\arctan x$ è limitata (tra $-\frac\pi2$ e $\frac\pi2$), quindi $6\arctan x = o(x)$;
• $\log(1 + x^2) \sim \log(x^2) = 2\log|x|$ per $x \to \pm\infty$, e per la gerarchia degli infinitiAll'infinito il logaritmo cresce più lentamente di qualunque potenza positiva: il rapporto tra log x e x tende a 0.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → $\log|x| = o(x)$.

Quindi $f(x) = 2x + o(x)$ e $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$

Conclusione. $\inf f = -\infty$ e $\sup f = +\infty$: la funzione non è limitata né sopra né sotto, quindi non ha né minimo né massimo assoluto. In $x_0 = -2$ c'è un massimo relativo stretto, in $x_1 = 1$ un minimo relativo stretto.

Abbozzo del grafico

Per rispondere alle domande non è servito studiare il segno di $f$ né calcolare $f(-2)$ e $f(1)$: il grafico qui sotto serve solo come guida mentale. Per curiosità (calcolati con Python): $f(-2) = \log 5 + 6\arctan 2 - 4 \approx 4{,}25$, $f(1) = \log 2 - \frac{3\pi}{2} + 2 \approx -2{,}02$, $f(0) = 0$.

Errori comuni

• Dimenticare il $+2$ nel denominatore comune: diventa $2(1 + x^2)$, non $2$.
• Dire che $-2$ è il massimo assoluto: la funzione va a $+\infty$, quindi supera qualunque valore.
• Chiamare "massimo" il valore $-2$: $-2$ è il punto di massimo relativo; il valore massimo relativo è $f(-2)$.