Equazioni differenziali lineari del secondo ordine

Lezione 46. Prerequisiti: Equazioni differenziali - introduzione e problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy →, Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine →.

La forma

Un'equazione differenziale lineare del secondo ordine è $$\bar a_2(t)\,y'' + \bar a_1(t)\,y' + \bar a_0(t)\,y = \bar b(t), \qquad \bar a_2, \bar a_1, \bar a_0, \bar b \in C(I),\ \bar a_2(t) \ne 0\ \ \forall t \in I$$ con $I$ intervallo. Dividendo per $\bar a_2(t) \ne 0$ si ottiene la forma equivalente $$y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t), \qquad a_1 = \frac{\bar a_1}{\bar a_2},\ a_0 = \frac{\bar a_0}{\bar a_2},\ b = \frac{\bar b}{\bar a_2} \in C(I)$$

È un caso particolare di $y'' = f(t, y, y')$ con $f = -a_1(t)\,y' - a_0(t)\,y + b(t)$: lineare sia in $y$ sia in $y'$ (compaiono alla prima potenza, moltiplicate per funzioni di $t$).

• $y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = 0$ si chiama equazione omogenea;
• $y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t)$ si chiama equazione completa.

Esempio: l'oscillatore armonico smorzato $y'' + \frac km y' + \frac hm y = 0$ è lineare omogenea, con coefficienti costanti.

Esistenza e unicità

Teorema 1 (esistenza e unicità globale, senza dimostrazione). Siano $a_0, a_1, b \in C(I)$.

1. L'integrale generale di $y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t)$ è fatto di funzioni $y \in C^2(I)$, definite sullo stesso intervallo $I$.
2. Per ogni scelta delle condizioni iniziali $x_0, x_1 \in \mathbb{R}$ in un istante $t_0 \in I$, il problema di Cauchy $$\begin{cases} y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t) \\ y(t_0) = x_0, \quad y'(t_0) = x_1 \end{cases}$$ ha una e una sola soluzione $y \in C^2(I)$.

Funzioni linearmente indipendenti

Due funzioni $y_1, y_2$ (almeno continue su un intervallo $I$) sono linearmente dipendenti se esistono $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$, non entrambi nulli, tali che $$c_1\,y_1(t) + c_2\,y_2(t) = 0 \qquad \forall t \in I$$ Altrimenti sono linearmente indipendenti (l.i.).

Il significato. Se per esempio $c_1 \ne 0$, si può dividere: $y_1(t) = -\frac{c_2}{c_1}\,y_2(t)$, cioè $y_1$ è un multiplo costante di $y_2$. Due funzioni sono linearmente indipendenti quando nessuna delle due è un multiplo costante dell'altra.

Esempi. $y_1 = e^t$ e $y_2 = 3e^t$ sono dipendenti: con $c_1 = 3$ e $c_2 = -1$ si ha $3y_1 - y_2 = 3e^t - 3e^t = 0$ per ogni $t$. Invece $e^t$ ed $e^{2t}$ sono indipendenti: il loro rapporto $\frac{e^{2t}}{e^t} = e^t$ non è costante.

Struttura dell'integrale generale dell'omogenea

Teorema 2. Siano $\bar a_0, \bar a_1, \bar a_2 \in C(I)$.

1. Se $y_1, y_2 \in C^2(I)$ sono soluzioni dell'equazione omogenea $$\bar a_2(t)\,y'' + \bar a_1(t)\,y' + \bar a_0(t)\,y = 0 \tag{$E_0$}$$ allora anche $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ è soluzione di $(E_0)$, per ogni $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$.
2. Se $\bar a_2(t) \ne 0$ per ogni $t \in I$ e $y_1, y_2$ sono soluzioni di $(E_0)$ linearmente indipendenti (due soluzioni così esistono sempre), l'integrale generale dell'omogenea è $$y(t) = c_1\,y_1(t) + c_2\,y_2(t) \qquad \forall t \in I,\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

In parole: combinando due soluzioni si ottiene ancora una soluzione, e se le due sono "davvero diverse" (indipendenti) le loro combinazioni sono tutte le soluzioni. Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $2$, e $y_1, y_2$ ne sono una base.

Dimostrazione (solo il punto 1). Si sostituisce $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ nel primo membro di $(E_0)$, usando che la derivata di una combinazione è la combinazione delle derivate: $$\bar a_2\,(c_1 y_1'' + c_2 y_2'') + \bar a_1\,(c_1 y_1' + c_2 y_2') + \bar a_0\,(c_1 y_1 + c_2 y_2)$$ Raccogliendo $c_1$ e $c_2$: $$= c_1\underbrace{\left[\bar a_2\,y_1'' + \bar a_1\,y_1' + \bar a_0\,y_1\right]}_{= 0 \text{ perché } y_1 \text{ è soluzione}} + c_2\underbrace{\left[\bar a_2\,y_2'' + \bar a_1\,y_2' + \bar a_0\,y_2\right]}_{= 0 \text{ perché } y_2 \text{ è soluzione}} = 0 \qquad ∎$$

Perché due costanti, e perché l'indipendenza. Il problema di Cauchy chiede due condizioni, $y(t_0) = x_0$ e $y'(t_0) = x_1$, e servono due costanti libere per soddisfarle tutte. Se $y_2$ fosse un multiplo di $y_1$, la combinazione $c_1 y_1 + c_2 y_2$ sarebbe un multiplo di $y_1$: in realtà una sola costante, non abbastanza.

Il determinante wronskiano

Un modo semplice per controllare l'indipendenza di due soluzioni.

Metodo del wronskiano (senza dimostrazione). Siano $y_1, y_2 \in C^2(I)$ soluzioni dell'omogenea $(E_0)$, con $\bar a_2(t) \ne 0$ su $I$. Allora $$y_1, y_2 \text{ sono l.i.} \iff \exists\, t_0 \in I: \ W(t_0) = \det\begin{pmatrix} y_1(t_0) & y_2(t_0) \\ y_1'(t_0) & y_2'(t_0) \end{pmatrix} = y_1(t_0)\,y_2'(t_0) - y_2(t_0)\,y_1'(t_0) \ne 0$$ $W$ si chiama determinante wronskiano. In realtà, per soluzioni dell'omogenea, $W(t_0) \ne 0$ in un punto se e solo se $W(t) \ne 0$ in tutti i punti di $I$.

In pratica si calcola $W$ nel punto più comodo, di solito $t_0 = 0$.

Esempio. $y_1 = e^t$, $y_2 = e^{2t}$ (soluzioni di $y'' - 3y' + 2y = 0$): $W(0) = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix} = 2 - 1 = 1 \ne 0$, quindi sono indipendenti.

Struttura dell'integrale generale della completa

Teorema 3. Siano $\bar a_0, \bar a_1, \bar a_2, \bar b \in C(I)$.

1. Se $y_p$ è una soluzione dell'equazione completa $\bar a_2 y'' + \bar a_1 y' + \bar a_0 y = \bar b$ (una soluzione particolare), allora tutte le soluzioni della completa sono la somma di $y_p$ con una soluzione dell'omogenea: $$\text{integrale generale della completa} = y_p + \text{integrale generale dell'omogenea}$$
2. Quindi, se $\bar a_2 \ne 0$ su $I$ e $y_1, y_2$ sono soluzioni l.i. dell'omogenea, l'integrale generale della completa è $$y(t) = y_p(t) + c_1\,y_1(t) + c_2\,y_2(t) \qquad \forall t \in I,\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Dimostrazione del punto 1. Si scrive $L[y] = \bar a_2\,y'' + \bar a_1\,y' + \bar a_0\,y$ per brevità; come nel teorema 2, $L[u + v] = L[u] + L[v]$.

• Ogni $y_p + y_0$, con $y_0$ soluzione dell'omogenea, risolve la completa: $L[y_p + y_0] = L[y_p] + L[y_0] = \bar b + 0 = \bar b$.
• Ogni soluzione $y$ della completa è di questa forma. Basta mostrare che $y_0 = y - y_p$ risolve l'omogenea: $L[y - y_p] = L[y] - L[y_p] = \bar b - \bar b = 0$. Allora $y = y_p + y_0$.

Il punto 2 segue dal punto 1 e dal teorema 2 ∎.

Vale per ogni ordine

Tutte le equazioni differenziali lineari hanno questa struttura.

• Ordine 1: per $y' + a(t)y = b(t)$ la formula risolutiva si spezza esattamente così: $$y(t) = \underbrace{c\,e^{-A(t)}}_{\text{soluzioni dell'omogenea } y' + a(t)y = 0} + \underbrace{e^{-A(t)}\int e^{A(t)}b(t)\,dt}_{y_p, \text{ una soluzione particolare}}$$
• Ordine $n$: per $y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \dots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t)$, l'integrale generale dell'omogenea è $c_1 y_1 + \dots + c_n y_n$ con $y_1, \dots, y_n$ soluzioni l.i. dell'omogenea, e quello della completa è $y_p + c_1 y_1 + \dots + c_n y_n$.

Riassumendo: che cosa serve

Per risolvere un'equazione lineare del secondo ordine servono

1. due soluzioni l.i. dell'omogenea, $y_1$ e $y_2$;
2. una soluzione particolare della completa, $y_p$.

Purtroppo non c'è un metodo generale per trovarle. Si sa trovare $y_1, y_2$ quando i coefficienti sono costanti (Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →), e $y_p$ quando inoltre $b(t)$ ha una forma speciale.

Errori comuni

• Scrivere l'integrale generale della completa come $c_1 y_1 + c_2 y_2$ dimenticando $y_p$, o come $y_p$ dimenticando le soluzioni dell'omogenea.
• Usare due soluzioni dipendenti (per esempio $e^{t}$ e $2e^t$): le combinazioni non danno tutte le soluzioni.
• Imporre le condizioni iniziali solo sulla parte omogenea: vanno imposte sulla soluzione completa $y_p + c_1 y_1 + c_2 y_2$.