Teorema di de l'Hôpital

Lezione 27. Prerequisiti: Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →, Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →, Teoremi sui limiti di funzioniUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni → (forme indeterminate).

È la prima applicazione del calcolo differenziale: un modo per risolvere le forme indeterminate $\frac00$ e $\frac\infty\infty$ derivando separatamente numeratore e denominatore.

Enunciato

Teorema (de l'Hôpital). Sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ (un numero reale oppure $\pm\infty$). Siano $f$ e $g$ definite e derivabili in un intorno $U$ di $x_0$, tranne al più in $x_0$, con $g(x) \ne 0$ e $g'(x) \ne 0$ per $x \in U \setminus \{x_0\}$. Se vale una delle due condizioni

1. $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ e $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ (forma $\frac00$);
2. $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$ oppure $-\infty$ (non importa che cosa fa $f$),

allora $$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad \text{se il secondo limite esiste (finito o infinito).}$$

Tre cose da notare subito:

• Non è la derivata del quoziente. Si deriva il numeratore per conto suo e il denominatore per conto suo: $\frac{f'}{g'}$, non $\left(\frac fg\right)'$.
• Il teorema va letto da destra a sinistra: prima si calcola $\lim \frac{f'}{g'}$; se esiste, quello è anche il valore di $\lim\frac fg$.
• Nel caso 2 basta che il denominatore vada all'infinito. Di solito anche il numeratore va all'infinito (forma $\frac\infty\infty$), ma il teorema non lo richiede.

Osservazione 1. Se $x_0 \in \mathbb{R}$ il teorema vale anche per i limiti destro e sinistro ($x \to x_0^+$, $x \to x_0^-$), con un intorno destro o sinistro al posto di $U$.

Dimostrazione in un caso semplice

La dimostrazione generale usa un teorema (di Cauchy) che non si fa nel corso. Qui solo il caso 1, con ipotesi più forti: $x_0 \in \mathbb{R}$, $f$ e $g$ derivabili anche in $x_0$ con derivate continue in $x_0$, e $g'(x_0) \ne 0$.

Siccome $f$ e $g$ sono derivabili in $x_0$, sono anche continue, quindi $f(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ e $g(x_0) = 0$. Allora si può sottrarre $f(x_0)$ e $g(x_0)$ senza cambiare nulla, e dividere sopra e sotto per $x - x_0$:

$$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} = \lim_{x \to x_0}\frac{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}{\dfrac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}} = \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$$

perché sopra e sotto ci sono i rapporti incrementali di $f$ e $g$ in $x_0$. Infine $\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ perché $f'$ e $g'$ sono continue in $x_0$ (e $g'(x_0) \ne 0$) ∎.

L'idea: vicino a $x_0$ sia $f$ sia $g$ "sono" le loro rette tangenti, $f(x) \approx f'(x_0)(x - x_0)$ e $g(x) \approx g'(x_0)(x - x_0)$; nel rapporto il fattore $(x - x_0)$ si semplifica e resta il rapporto delle pendenze.

Se il limite di $f'/g'$ non esiste, non si conclude nulla

Osservazione 2. Il teorema dice "se esiste $\lim\frac{f'}{g'}$". Se quel limite non esiste, il limite di $\frac fg$ può esistere lo stesso: va calcolato in un altro modo.

Esempio. $f(x) = 3x - 2\cos x$, $g(x) = x + \sin x$, per $x \to +\infty$.

• $g(x) = x + \sin x \to +\infty$ ($\sin x$ è limitato, quindi è un $o(x)$): siamo nel caso 2.
• $\dfrac{f'(x)}{g'(x)} = \dfrac{3 + 2\sin x}{1 + \cos x}$: è una funzione periodica di periodo $2\pi$ e non costante, quindi non ha limite a $+\infty$ (una funzione periodica non costante prende all'infinito sempre gli stessi valori diversi tra loro). Per giunta non è nemmeno definita dove $\cos x = -1$.
• Eppure, raccogliendo i termini dominanti ($2\cos x$ e $\sin x$ sono limitati, quindi $o(x)$): $$\lim_{x \to +\infty}\frac{3x - 2\cos x}{x + \sin x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{3x + o(x)}{x + o(x)} = \lim_{x \to +\infty}\frac{3x}{x} = 3$$

Quindi $\lim \frac fg = 3$ esiste anche se $\lim\frac{f'}{g'}$ non esiste. (In questo esempio, tra l'altro, $g'(x) = 1 + \cos x$ si annulla in infiniti punti vicini a $+\infty$: le ipotesi del teorema non sono nemmeno soddisfatte.)

Le applicazioni

1. Calcolo di limiti (sotto).
2. Studio della derivabilità di una funzione: è il Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata →.
3. La dimostrazione della Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano → (sviluppi di Mac-Laurin), che usa de l'Hôpital ripetutamente.

Prima applicazione: calcolo di limiti

Esempio: la gerarchia degli infiniti tra logaritmo e potenza

Per ogni $p > 0$ e $\alpha > 0$: $$\lim_{x \to +\infty}\frac{\log^p x}{x^\alpha} = 0, \qquad \text{cioè} \qquad \log^p x = o(x^\alpha) \text{ per } x \to +\infty$$

Caso $p = 1$. È una forma $\frac\infty\infty$ (il denominatore va a $+\infty$: caso 2). Derivando sopra e sotto, $D\log x = \frac1x$ e $D x^\alpha = \alpha x^{\alpha - 1}$: $$\lim_{x \to +\infty}\frac{\log x}{x^\alpha} \overset{H}{=} \lim_{x \to +\infty}\frac{1/x}{\alpha x^{\alpha - 1}} = \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{\alpha x^\alpha} = 0$$ (la $H$ sopra l'uguale ricorda che lì si è usato de l'Hôpital; il passaggio è giusto perché l'ultimo limite esiste).

Caso $p > 0$ qualsiasi. Invece di derivare $p$ volte, si porta tutto sotto la potenza $p$: $$\frac{\log^p x}{x^\alpha} = \left(\frac{\log x}{x^{\alpha/p}}\right)^p \to 0^p = 0$$ perché $\frac\alpha p > 0$ e, per il caso $p = 1$ con esponente $\frac\alpha p$, la base tende a $0$.

È la stessa gerarchia vista in Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →, dimostrata in un altro modo.

Quando conviene, e quando no

• Conviene quando derivare semplifica: logaritmi e arcotangenti, per esempio, diventano funzioni razionali.
• Non conviene quando le derivate diventano più complicate delle funzioni di partenza (prodotti, potenze $f^g$, esponenziali con esponenti complicati): in quei casi meglio raccogliere i termini dominanti o usare gli Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →.
• Spesso conviene mescolare: prima si sostituisce con uno sviluppo la parte facile (per esempio il denominatore diventa $-\frac92 x^2$), poi si usa de l'Hôpital su quello che resta. Esempi nell'Esercizio 76 · de l'Hôpital per la gerarchia e per una forma 1^∞.
• Prima di applicarlo, controllare le ipotesi: deve essere davvero una forma $\frac00$ o un denominatore infinito. Con $\frac{1}{x}$ per $x \to 1$, per esempio, non c'è nessuna forma indeterminata e "derivare" darebbe un risultato sbagliato.
• Non serve per le differenze $\infty - \infty$ (finché non le si trasforma in un quoziente): nell'Esercizio 77 · limite con 2^x2 log x) e x^x2 si raccolgono i termini dominanti.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Derivare il quoziente con la regola $\frac{f'g - fg'}{g^2}$ invece di derivare separatamente numeratore e denominatore.
• Applicarlo senza forma indeterminata: $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1 + x} = 1$, mentre $\frac{-\sin x}{1} \to 0$.
• Concludere che $\lim \frac fg$ non esiste perché non esiste $\lim\frac{f'}{g'}$ (vedi l'esempio con $3x - 2\cos x$).
• Usarlo dove peggiora le cose: esponenziali con esponenti complicati, prodotti di molte funzioni.