Lezione 30Studi di funzione

Data: mercoledì 19 novembre 2025 · Videolezione: n. 31 della playlist ("Lezione 30", 1h38)

Argomenti trattati

Lezione di esercizi sugli studi di funzione.

1. Studio fino a $f'$ di $x^2e^{-1/x}$ (esercizio 16 del foglio 12-14/11): superlinearità e assenza di asintoti obliqui, asintoto verticale da un solo lato, minimo relativo, $\inf$ non raggiunto, pendenza con cui il grafico arriva nell'origine.
2. Quando calcolare i limiti di $f'$ nello studio di funzione: punti in cui $f$ è continua ma $f'$ non è definita, estremi del dominio, punti esclusi in cui $f$ ha limite finito.
3. Studio fino a $f''$ di $\arcsin\frac{|x - 1|}{x + 3}$ (esercizio 1 del foglio 19-21/11): dominio con un sistema di disequazioni, funzione con il modulo scritta a tratti, tangente verticale nell'estremo, punto angoloso che è anche un flesso.
4. Studio fino a $f''$ di $3\arctan\frac{1}{\sinh x} + \log\frac{1}{\cosh x}$ (esercizio 9 dello stesso foglio): asintoti obliqui raccogliendo l'esponenziale dominante nel logaritmo, salto in $0$, massimo relativo e flesso con il settore seno iperbolico.

Teoria

• Studio di funzioneLo schema dello studio di funzione: (a) dominio, simmetrie, periodicità, segno; (b) limiti alla frontiera, asintoti, prolungamenti; (c) f': monotonia, massimi e minimi, inf e sup, derivabilità (limiti di f' nei punti delicati); (d) f'': convessità e flessi. I limiti di f' si calcolano dove f è continua ma f' non è definita, negli estremi del dominio e dove f ha un limite finito senza essere definita: danno la pendenza con cui il grafico arriva.Studio di funzione →
• Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata →
• Funzioni convesse, concave e punti di flessof è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso →

Esercizi

• Esercizio 84 · studio di x² e^-1/x) fino alla derivata prima — esercizio 16
• Esercizio 85 · studio di arcsin(modulo di x-1 su x+3) fino alla derivata seconda — esercizio 1 del foglio nuovo
• Esercizio 86 · studio di 3 arctan(1/sinh x) + log(1/cosh x) fino alla derivata seconda — esercizio 9 del foglio nuovo (nel PDF l'asintoto a $-\infty$ è scritto $y = x + \log x$ invece di $y = x + \log 2$)