Studio di funzione

Lezione 30 (lo schema è usato dalla lezione 26 in poi). Prerequisiti: Discontinuità e prolungamento per continuitàIn un punto interno del dominio f può avere discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) o eliminabile; in un punto fuori dal dominio, se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti, f si prolunga per continuità. Limiti alla frontiera nello studio di funzione.Discontinuità e prolungamento per continuità →, Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →, Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi →, Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata →, Funzioni convesse, concave e punti di flessof è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso →.

Studiare una funzione vuol dire raccogliere abbastanza informazioni da disegnarne il grafico in modo qualitativo. Negli esercizi si chiede di solito "studiare fino a $f'$" o "fino a $f''$": si seguono i punti qui sotto fino a quello richiesto.

Lo schema

(a) Dominio, simmetrie, periodicità, segno

• Dominio: tutte le condizioni (denominatori $\ne 0$, argomenti dei logaritmi $> 0$, radici di indice pari $\ge 0$, argomenti di $\arcsin$ e $\arccos$ in $[-1, 1]$, …), messe a sistema.
• Simmetrie: se il dominio è simmetrico rispetto a $0$, controllare se $f$ è pari ($f(-x) = f(x)$: basta studiarla per $x \ge 0$) o dispari ($f(-x) = -f(x)$). Se il dominio non è simmetrico non c'è nessuna simmetria da cercare.
• Periodicità: se compaiono funzioni trigonometriche, controllare se $f$ è periodica (basta studiarla su un periodo).
• Segno: dove $f > 0$, $f = 0$, $f < 0$. Se è difficile si può saltare o fare solo in parte (per esempio solo per $x < 0$): non è indispensabile per le domande sulla derivata.

Già qui conviene fare un abbozzo del grafico tratteggiando le zone del piano escluse (fuori dal dominio, sopra o sotto l'asse secondo il segno), da correggere man mano.

(b) Limiti alla frontiera, asintoti, prolungamenti per continuità

• I limiti a $\pm\infty$ (se il dominio è illimitato) e nei punti di accumulazione del dominio che non gli appartengono, da destra e da sinistra (vedi Discontinuità e prolungamento per continuitàIn un punto interno del dominio f può avere discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) o eliminabile; in un punto fuori dal dominio, se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti, f si prolunga per continuità. Limiti alla frontiera nello studio di funzione.Discontinuità e prolungamento per continuità →).
• Da questi: asintoti verticali, orizzontali e obliqui (Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →). Se $\frac{f(x)}{x} \to \pm\infty$ la funzione è superlineare e non c'è asintoto obliquo.
• Dove esiste un limite finito in un punto escluso: c'è un prolungamento per continuità se i limiti destro e sinistro coincidono (o se il punto è raggiungibile da un lato solo).

(c) Derivata prima: monotonia, massimi e minimi, inf e sup, derivabilità

• Calcolare $f'(x)$ dove le regole di derivazione si applicano. Il dominio di $f'$ è contenuto nei punti interni del dominio di $f$ e può essere strettamente più piccolo: per esempio con $\arcsin u$ e $\arccos u$ dove $u = \pm 1$, con $\sqrt{u}$ dove $u = 0$, con $|u|$ dove $u = 0$.
• Funzioni con valori assoluti: prima si scrive $f$ a tratti togliendo il modulo, poi si deriva ciascun tratto, solo nei punti interni di ogni tratto.
• Segno di $f'$ e tabella con le frecce: monotonia, punti di massimo e minimo relativo (anche nei punti di non derivabilità e negli estremi del dominio, purché $f$ sia continua lì). Confrontando con i limiti del punto (b) si decide se sono assoluti e si trovano $\inf f$ e $\sup f$.
• Derivabilità nei punti "delicati", con i limiti di $f'$ (vedi sotto).

(d) Derivata seconda: convessità, concavità, flessi

• Calcolare $f''(x)$ (di solito derivando l'espressione già semplificata di $f'$).
• Segno di $f''$: $f'' > 0$ convessa, $f'' < 0$ concava; i flessi sono i punti del dominio, dove $f$ è continua, in cui il segno cambia.

Quando si calcolano i limiti di $f'$

Ci sono tre situazioni in cui calcolare $\lim_{x \to x_0^\pm} f'(x)$ dà informazioni utili.

1. $x_0$ appartiene al dominio, $f$ è continua in $x_0$, ma $f'$ non è definita in $x_0$. Per il Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata →, se i limiti esistono, $\lim_{x \to x_0^\pm} f'(x) = f'(x_0^\pm)$. Quindi:

• $f'(x_0^-) = f'(x_0^+) \in \mathbb{R}$: $f$ è derivabile in $x_0$ (la formula di $f'$ "non vedeva" il punto, ma la derivata c'è);
• finite e diverse: punto angoloso; entrambe $+\infty$ o entrambe $-\infty$: flesso a tangente verticale; infinite di segno opposto: cuspide.

2. $f$ è definita solo da una parte di $x_0$ (per esempio $x_0$ è l'estremo sinistro del dominio, come $-1$ per $\arcsin\frac{|x - 1|}{x + 3}$). Il limite $\lim_{x \to x_0^+} f'(x) = f'(x_0^+)$, se esiste, è la pendenza della tangente con cui il grafico parte da $x_0$. Se è $\pm\infty$ la tangente è verticale.

3. $x_0$ non appartiene al dominio, ma esiste finito $f(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ (o quello sinistro). Allora $\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$, se esiste, è la pendenza con cui il grafico arriva nel punto $(x_0, f(x_0^+))$, che è un "buco" del grafico. Per esempio $x^2 e^{-1/x}$ tende a $0$ per $x \to 0^+$ e $f'(x) \to 0$: il grafico arriva nell'origine con tangente orizzontale (vedi l'Esercizio 84 · studio di x² e^-1/x) fino alla derivata prima).

Attenzione: nel caso 3, anche se $f'(x_0^-) = f'(x_0^+)$, la funzione non è derivabile in $x_0$: non vi è nemmeno definita (e se ha un salto non si prolunga per continuità).

Esempi svolti

• Fino a $f'$: Esercizio 83 · studio di arcsin(1/(1+x²) fino alla derivata prima, Esercizio 84 · studio di x² e^-1/x) fino alla derivata prima.
• Fino a $f''$: Esercizio 85 · studio di arcsin(modulo di x-1 su x+3) fino alla derivata seconda, Esercizio 86 · studio di 3 arctan(1/sinh x) + log(1/cosh x) fino alla derivata seconda.
• Solo fino ai limiti: Esercizio 75 · studio di radice di (1 - log(x²)/arccos x. Con una funzione periodica: Esercizio 107 · studio di 3^-1/ modulo di sin x).

Errori comuni

• Derivare una funzione con il modulo senza scriverla a tratti, oppure derivare anche negli estremi dei tratti.
• Dire che $f$ è derivabile in un punto perché la formula di $f'$ lì ha senso (o non derivabile perché non ha senso): nei punti delicati si usano i limiti di $f'$ o il rapporto incrementale.
• Confondere un massimo relativo con quello assoluto senza aver confrontato con i limiti alla frontiera.
• Cercare i flessi solo tra gli zeri di $f''$: serve il cambio di segno, e possono esserci flessi dove $f''$ non esiste.