Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo

Lezione 46. Prerequisiti: Equazioni differenziali lineari del secondo ordiney'' + a1(t)y' + a0(t)y = b(t) con coefficienti continui su un intervallo: le soluzioni sono definite su tutto l'intervallo e il problema di Cauchy con y(t0), y'(t0) ha una sola soluzione. L'integrale generale dell'omogenea è c1 y1 + c2 y2 con y1, y2 soluzioni linearmente indipendenti (controllo con il wronskiano); quello della completa è yp + c1 y1 + c2 y2, con yp una soluzione particolare. Stessa struttura per ogni ordine n.Equazioni differenziali lineari del secondo ordine → (struttura dell'integrale generale, wronskiano).

Il teorema

Si considera l'equazione omogenea con coefficienti numeri reali (non funzioni di $t$): $$y'' + a_1\,y' + a_0\,y = 0, \qquad a_0, a_1 \in \mathbb{R} \tag{$E_0$}$$ I coefficienti costanti sono continui su tutto $\mathbb{R}$, quindi le soluzioni sono definite su $I = \mathbb{R}$.

Teorema. Il polinomio caratteristico di $(E_0)$ è $$p(\lambda) = \lambda^2 + a_1\,\lambda + a_0$$ (si ottiene sostituendo $y'' \to \lambda^2$, $y' \to \lambda$, $y \to 1$). Sia $\Delta = a_1^2 - 4a_0$ il suo discriminante.

1. $\Delta > 0$: $p(\lambda) = 0$ ha due radici reali distinte $\lambda_1 \ne \lambda_2$, e l'integrale generale è $$y(t) = c_1\,e^{\lambda_1 t} + c_2\,e^{\lambda_2 t} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$
2. $\Delta = 0$: un'unica radice $\lambda_1 = \lambda_2$, di molteplicità $2$, e $$y(t) = (c_1 + c_2\,t)\,e^{\lambda_1 t}$$
3. $\Delta < 0$: due radici complesse coniugate $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\omega$, con $\omega > 0$, e $$y(t) = e^{\alpha t}\big(c_1\cos(\omega t) + c_2\sin(\omega t)\big)$$

In ciascun caso le due funzioni che si combinano sono soluzioni l.i.: $e^{\lambda_1 t}$ ed $e^{\lambda_2 t}$; $e^{\lambda_1 t}$ e $t\,e^{\lambda_1 t}$; $e^{\alpha t}\cos(\omega t)$ ed $e^{\alpha t}\sin(\omega t)$.

Dimostrazione del caso 1

Passo 1: quando $e^{\lambda t}$ è soluzione. L'idea è cercare soluzioni esponenziali, perché derivando un esponenziale si riottiene un multiplo dello stesso esponenziale. Con $y = e^{\lambda t}$: $y' = \lambda e^{\lambda t}$, $y'' = \lambda^2 e^{\lambda t}$, quindi $$y'' + a_1 y' + a_0 y = \lambda^2 e^{\lambda t} + a_1\lambda e^{\lambda t} + a_0 e^{\lambda t} = e^{\lambda t}\left(\lambda^2 + a_1\lambda + a_0\right) = e^{\lambda t}\,p(\lambda)$$ Siccome $e^{\lambda t} \ne 0$, questo è nullo per ogni $t$ se e solo se $p(\lambda) = 0$. Quindi $e^{\lambda t}$ è soluzione se e solo se $\lambda$ è una radice del polinomio caratteristico. Con $\Delta > 0$ si ottengono due soluzioni, $y_1 = e^{\lambda_1 t}$ e $y_2 = e^{\lambda_2 t}$.

Passo 2: sono indipendenti. Wronskiano in $t_0 = 0$ (con $e^0 = 1$): $$W(0) = \det\begin{pmatrix} y_1(0) & y_2(0) \\ y_1'(0) & y_2'(0) \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \lambda_2 - \lambda_1 \ne 0$$ perché le radici sono distinte. Per il teorema sulla struttura dell'integrale generale dell'omogenea, l'integrale generale è $c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}$ ∎.

Caso 2 (idea, verifica diretta). Con $\Delta = 0$ la radice è $\lambda_1 = -\frac{a_1}{2}$, e il passo 1 dà una sola soluzione $e^{\lambda_1 t}$. Si controlla che anche $y = t\,e^{\lambda_1 t}$ funziona: $y' = (1 + \lambda_1 t)e^{\lambda_1 t}$, $y'' = (2\lambda_1 + \lambda_1^2 t)e^{\lambda_1 t}$, e $$y'' + a_1 y' + a_0 y = e^{\lambda_1 t}\left[t\,p(\lambda_1) + 2\lambda_1 + a_1\right] = 0$$ perché $p(\lambda_1) = 0$ e $2\lambda_1 + a_1 = 0$. Il wronskiano in $0$ vale $\det\begin{pmatrix}1 & 0 \\ \lambda_1 & 1\end{pmatrix} = 1 \ne 0$.

Perché nel caso 3 compaiono seno e coseno

Con $\Delta < 0$ il passo 1 funziona lo stesso nei numeri complessi: $y_1 = e^{(\alpha + i\omega)t} = e^{\alpha t}e^{i\omega t}$ e $y_2 = e^{(\alpha - i\omega)t} = e^{\alpha t}e^{-i\omega t}$ sono soluzioni (complesse) indipendenti. Per tornare a funzioni reali si usano le formule di Eulero $$\cos(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}}{2}, \qquad \sin(\omega t) = \frac{e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}}{2i}$$ e si prendono le combinazioni (che sono ancora soluzioni, per il teorema sulla struttura) $$\bar y_1 = \frac{y_1 + y_2}{2} = e^{\alpha t}\cos(\omega t), \qquad \bar y_2 = \frac{y_1 - y_2}{2i} = e^{\alpha t}\sin(\omega t)$$ che sono reali.

Il significato fisico. Per l'oscillatore armonico smorzato $y'' + \frac km y' + \frac hm y = 0$ il caso 3 è quello dello smorzamento debole: la parte $\cos$, $\sin$ fa oscillare la posizione, il fattore $e^{\alpha t}$ con $\alpha = -\frac{k}{2m} < 0$ smorza le oscillazioni. Infatti $|y(t)| \le C\,e^{\alpha t} \to 0$: il grafico oscilla tra le curve $\pm C e^{\alpha t}$.

Il metodo vale per ogni ordine

Per un'equazione lineare omogenea a coefficienti costanti di ordine $n$, $$y^{(n)} + a_{n-1}\,y^{(n-1)} + \dots + a_1\,y' + a_0\,y = 0$$ il polinomio caratteristico è $p(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_1\lambda + a_0$, e a ogni radice corrispondono soluzioni:

• radice reale $\lambda$ di molteplicità $m$: $e^{\lambda t}, t\,e^{\lambda t}, \dots, t^{m-1}e^{\lambda t}$;
• coppia di radici complesse $\alpha \pm i\omega$ di molteplicità $m$: $t^k e^{\alpha t}\cos(\omega t)$ e $t^k e^{\alpha t}\sin(\omega t)$ per $k = 0, \dots, m - 1$.

In tutto sono $n$ soluzioni l.i., e l'integrale generale è la loro combinazione con $n$ costanti. Esempi nell'Esercizio 164 · equazioni omogenee di ordine 3 e 4.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Nel caso $\Delta = 0$ scrivere $c_1 e^{\lambda t} + c_2 e^{\lambda t}$: è un solo esponenziale, con una sola costante; serve $t\,e^{\lambda t}$.
• Nel caso $\Delta < 0$ prendere $\omega$ con il segno o dimenticare $\alpha$: con $\lambda = -\frac12 \pm i\frac{\sqrt7}{2}$ si ha $\alpha = -\frac12$ e $\omega = \frac{\sqrt7}{2}$.
• Una radice $\lambda = 0$: dà $e^{0t} = 1$, cioè una costante (per esempio $y'' - 3y' = 0$ ha integrale generale $c_1 + c_2 e^{3t}$).