Esercizio 166y'' + ay' = -1 al variare di a

Testo (Lezione 47, esercizio 9 del foglio). Determinare per ogni $a \in \mathbb{R}$ l'integrale generale dell'equazione differenziale $$y''(t) + a\,y'(t) = -1$$ Determinare i valori di $a$ per cui $\frac{y(t)}{t}$ è illimitato in $[1, +\infty[$ per tutte le soluzioni.

Teoria: Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → (risonanza), Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →.

(a) Integrale generale

1. Omogenea: $y'' + a\,y' = 0$

$$p(\lambda) = \lambda^2 + a\lambda = \lambda(\lambda + a) = 0 \iff \lambda_1 = 0,\ \lambda_2 = -a$$ Le due radici coincidono solo se $a = 0$: due casi.

• $a \ne 0$: radici reali distinte, $y_0(t) = c_1 e^{0t} + c_2 e^{-at} = c_1 + c_2\,e^{-at}$.
• $a = 0$: radice doppia $\lambda = 0$, $y_0(t) = (c_1 + c_2\,t)\,e^{0t} = c_1 + c_2\,t$.

2. Soluzione particolare

$b(t) = -1$ è un polinomio di grado $0$: $\bar\lambda = 0$. Ma $p(0) = 0$: $\bar\lambda = 0$ è una radice del polinomio caratteristico, c'è risonanzaSuccede quando λ̄ = α + iω è una radice del polinomio caratteristico: la soluzione particolare "normale" risolverebbe l'omogenea, e va moltiplicata per t (radice semplice) o t² (radice doppia).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa →. Il polinomio di grado $0$ (una costante $A$) va moltiplicato per $t$ o per $t^2$ secondo la molteplicità di $0$ come radice.

• $a \ne 0$: $0$ è radice semplice, $y_p(t) = t\cdot A$. Con $y_p' = A$, $y_p'' = 0$, sostituendo: $0 + a\,A = -1$, quindi $A = -\frac1a$ e $$y_p(t) = -\frac{t}{a}$$
• $a = 0$: $0$ è radice doppia, $y_p(t) = t^2\cdot A$. L'equazione è $y'' = -1$; con $y_p'' = 2A$: $2A = -1$, $A = -\frac12$ e $$y_p(t) = -\frac12 t^2$$

Perché la risonanza qui. Senza moltiplicare per $t$ si cercherebbe $y_p = A$ costante: ma allora $y_p' = y_p'' = 0$ e il primo membro vale $0 \ne -1$. Le costanti risolvono l'omogenea, quindi non possono risolvere la completa.

3. Integrale generale

$$y(t) = \begin{cases} c_1 + c_2\,e^{-at} - \dfrac{t}{a} & a \ne 0 \\[3mm] c_1 + c_2\,t - \dfrac12 t^2 & a = 0 \end{cases} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Verifica (con Python, dsolve per $a = 2$ e per $a = 0$): stessi risultati ✓.

(b) Quando $\frac{y(t)}{t}$ è illimitato in $[1, +\infty[$ per tutte le soluzioni

$a \ne 0$. $$\frac{y(t)}{t} = \frac{c_1}{t} + \frac{c_2\,e^{-at}}{t} - \frac1a$$ Basta trovare una soluzione per cui il rapporto è limitato per escludere questi $a$. Con $c_2 = 0$: $\frac{y(t)}{t} = \frac{c_1}{t} - \frac1a$, che su $[1, +\infty[$ è continua e tende a $-\frac1a$ (finito) per $t \to +\infty$, quindi è limitata. Non tutte le soluzioni hanno il rapporto illimitato: questi $a$ non vanno bene.

$a = 0$. $$\frac{y(t)}{t} = \frac{c_1}{t} + c_2 - \frac12 t \xrightarrow[t \to +\infty]{} -\infty$$ qualunque siano $c_1, c_2$: il termine $-\frac12 t$ domina. Il rapporto è illimitato per tutte le soluzioni.

Risposta: solo $a = 0$.

Errori comuni

• Cercare $y_p = A$ senza accorgersi della risonanza: si arriva a $0 = -1$.
• Trattare $a = 0$ insieme agli altri casi: cambiano sia $y_0$ (radice doppia) sia $y_p$ (moltiplicare per $t^2$), e non si può dividere per $a$.
• In (b), ragionare su una sola soluzione: "per tutte le soluzioni" si nega trovandone una sola che non va.