Esercizio 157integrale da -∞ a 0 con parametro e modulo

Testo (Lezione 44, esercizio 15 del foglio di ricapitolazione). Dato l'integrale $$I = \int_{-\infty}^0 e^x\cdot 3^{(\alpha - 3)x^2}\cdot|x + \alpha|\,dx$$ (a) per quali $\alpha \in \mathbb{R}$ l'integrale converge? (b) Calcolarlo per $\alpha = 3$.

(a) Convergenza

$f(x) = e^x\cdot 3^{(\alpha - 3)x^2}\cdot|x + \alpha|$ è $\ge 0$ e continua su $]-\infty, 0]$. È improprio a $-\infty$.

Riportarsi a $+\infty$. Con $y = -x$ (vedi "Estensioni" in Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →): $$I = \int_0^{+\infty} f(-x)\,dx, \qquad f(-x) = e^{-x}\cdot 3^{(\alpha - 3)x^2}\cdot|\alpha - x|$$ Si studia $f(-x)$ per $x \to +\infty$. Per $x > \alpha$ (che vale definitivamente) $|\alpha - x| = x - \alpha \sim x$. Scrivendo tutto in base $e$ ($3^t = e^{t\log 3}$, $x = e^{\log x}$): $$f(-x) \sim e^{-x}\cdot e^{(\alpha - 3)\log 3\cdot x^2}\cdot x = e^{(\alpha - 3)\log 3\cdot x^2 - x + \log x}$$ Conta il segno del coefficiente di $x^2$, che domina nell'esponente:

• $\alpha > 3$: il coefficiente $(\alpha - 3)\log 3$ è positivo, l'esponente tende a $+\infty$ (il termine in $x^2$ batte $-x$ e $\log x$), quindi $f(-x) \to +\infty$: per la condizione necessaria l'integrale diverge.
• $\alpha = 3$: $f(-x) \sim x\,e^{-x}$; per il punto (B), $x^\beta\cdot x e^{-x} = \frac{x^{\beta + 1}}{e^x} \to 0$ per ogni $\beta$, in particolare per $\beta > 1$: converge.
• $\alpha < 3$: il coefficiente è negativo, $f(-x)$ va a zero ancora più in fretta (come $e^{-cx^2}$); di nuovo per (B) converge.

L'integrale converge se e solo se $\alpha \le 3$.

(Nel PDF la conclusione è scritta come "converge per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$", in contraddizione con il caso $\alpha > 3$ studiato subito prima: la conclusione giusta è $\alpha \le 3$.)

(b) Calcolo per $\alpha = 3$

$3^{0} = 1$, quindi $I = \int_{-\infty}^0 e^x|x + 3|\,dx = \int_0^{+\infty} e^{-x}|3 - x|\,dx$ (stessa sostituzione di prima).

Togliere il modulo. $|3 - x| = 3 - x$ per $x \le 3$, $= x - 3$ per $x > 3$: $$I = \int_0^3 e^{-x}(3 - x)\,dx + \int_3^{+\infty} e^{-x}(x - 3)\,dx$$

Passo 1: primitiva, per parti ($f = 3 - x$ da derivare, $g' = e^{-x}$, $g = -e^{-x}$): $$\int e^{-x}(3 - x)\,dx = -e^{-x}(3 - x) - \int(-1)(-e^{-x})\,dx = -e^{-x}(3 - x) + e^{-x} + k = e^{-x}(x - 2) + k$$ Quindi $G(x) = e^{-x}(x - 2)$ è primitiva di $e^{-x}(3 - x)$, e $-G$ lo è di $e^{-x}(x - 3)$.

Passo 2.

• $\int_0^3 e^{-x}(3 - x)\,dx = G(3) - G(0) = e^{-3} - (-2) = e^{-3} + 2$;
• per $x > 3$: $\int_3^x e^{-t}(t - 3)\,dt = -G(x) + G(3) = -e^{-x}(x - 2) + e^{-3}$.

Passo 3. Per $x \to +\infty$, $e^{-x}(x - 2) \to 0$ (gerarchia), quindi il secondo pezzo tende a $e^{-3}$: $$I = e^{-3} + 2 + e^{-3} = 2\left(\frac{1}{e^3} + 1\right) \approx 2{,}0996$$ (controllato con un'integrazione numerica in Python).

Errori comuni

• Dimenticare il modulo e integrare $e^{-x}(3 - x)$ su tutto $[0, +\infty[$.
• Non accorgersi che per $\alpha > 3$ l'integranda esplode: $3^{(\alpha-3)x^2}$ cresce più di qualunque esponenziale $e^{x}$.