Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni

Lezione 18. Prerequisiti: Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →, Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →.

Il teorema "ponte" collega le due definizioni di limite: quella per le funzioni ($x \to x_0$) e quella per le successioni ($n \to +\infty$). È lo strumento con cui, dalla lezione 19, tutti i teoremi già dimostrati per le successioni (unicità, confronto, algebra dei limiti...) diventano teoremi per le funzioni, senza rifare le dimostrazioni.

Enunciato

Teorema (ponte). Siano $f: X \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ di accumulazione per $X$, $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Allora $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$$ se e solo se per ogni successione $(x_n)_n \subseteq X$ con $x_n \ne x_0$ per ogni $n$ e $\lim_n x_n = x_0$, si ha $$\lim_n f(x_n) = \ell$$

In parole: $f(x)$ tende a $\ell$ quando $x$ si avvicina a $x_0$ se e solo se, comunque ci si avvicini a $x_0$ "a salti" lungo una successione di punti del dominio, i valori $f(x_n)$ tendono a $\ell$.

Perché le condizioni sulla successione:

• $(x_n) \subseteq X$: si deve poter calcolare $f(x_n)$;
• $x_n \ne x_0$: come nella definizione di limite, il valore in $x_0$ non conta;
• $x_n \to x_0$: le successioni devono "avvicinarsi" al punto in cui si fa il limite. Esistono perché $x_0$ è di accumulazione (vedi la formulazione con le successioni dei punti di accumulazione).

A che cosa serve

1. Trasportare i teoremi. Se $f(x) \to \ell_1$ e $f(x) \to \ell_2$, allora per una qualunque successione $x_n \to x_0$ si avrebbe $f(x_n) \to \ell_1$ e $f(x_n) \to \ell_2$, e per l'unicità del limite delle successioni $\ell_1 = \ell_2$. Allo stesso modo si ottengono tutti i teoremi di calcolo.
2. Dimostrare che un limite non esiste. Basta trovare due successioni $x_n \to x_0$ e $x'_n \to x_0$ (nel dominio, diverse da $x_0$) con $\lim f(x_n) \ne \lim f(x'_n)$, oppure una sola con $f(x_n)$ senza limite. Per esempio $\nexists \lim_{x \to +\infty} \sin x$: con $x_n = 2n\pi$ si ha $\sin x_n = 0 \to 0$, con $x'_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ si ha $\sin x'_n = 1 \to 1$.
3. Calcolare limiti di successioni usando limiti di funzioni: per esempio, poiché $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (lo si vedrà più avanti) e $\frac1n \to 0$ con $\frac1n \ne 0$, segue $\lim_n n\sin\frac1n = 1$.

Dimostrazione (caso $x_0, \ell \in \mathbb{R}$)

La prof la mette in fondo alla lezione come non in programma; la si riporta perché mostra bene come si usano le definizioni.

$(\Rightarrow)$ Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$, allora $f(x_n) \to \ell$ per ogni successione ammessa

Ipotesi (hp1): per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che $|f(x) - \ell| < \varepsilon$ per ogni $x \in X$ con $0 < |x - x_0| < \delta$.

Si prende una successione $(x_n) \subseteq X$ con $x_n \ne x_0$ e $x_n \to x_0$, e si fissa $\varepsilon > 0$. Sia $\delta$ quello dato da hp1 per questo $\varepsilon$.

• Poiché $x_n \to x_0$, applicando la definizione di limite di successione con "$\varepsilon$" uguale a $\delta$: esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che $|x_n - x_0| < \delta$ per ogni $n > N$.
• Inoltre $|x_n - x_0| > 0$, perché $x_n \ne x_0$.

Quindi per $n > N$ il punto $x = x_n$ soddisfa $0 < |x_n - x_0| < \delta$, e per hp1 $|f(x_n) - \ell| < \varepsilon$. Siccome $\varepsilon$ era qualunque, $\lim_n f(x_n) = \ell$ ∎.

$(\Leftarrow)$ Se $f(x_n) \to \ell$ per ogni successione ammessa, allora $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$

Ipotesi (hp2): per ogni $(x_n) \subseteq X$ con $x_n \ne x_0$ e $x_n \to x_0$ si ha $f(x_n) \to \ell$.

Si ragiona per assurdo: si suppone che $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ sia falso. NegandoSi scambiano per ogni ed esiste e si nega la conclusione: per ogni ε esiste δ con tutti gli x buoni diventa esiste ε tale che per ogni δ c'è almeno un x cattivo. la definizione hp1: esiste $\varepsilon > 0$ tale che per ogni $\delta > 0$ c'è almeno un $x \in X$ con $0 < |x - x_0| < \delta$ ma $|f(x) - \ell| \ge \varepsilon$.

Siccome questo vale per ogni $\delta > 0$, lo si usa con $\delta = \frac1n$, per ogni $n \ge 1$: per ciascun $n$ si trova un punto $x_n \in X$ con

$$0 < |x_n - x_0| < \frac1n \qquad \text{e} \qquad |f(x_n) - \ell| \ge \varepsilon$$

Così si è costruita una successione $(x_n) \subseteq X$ con:

• $x_n \ne x_0$ (perché $|x_n - x_0| > 0$);
• $x_n \to x_0$, per il teorema dei carabinieriSe una successione è compresa tra due successioni che tendono allo stesso limite, tende anch'essa a quel limite.Calcolo dei limiti di successioni →: $0 < |x_n - x_0| < \frac1n$ e $\frac1n \to 0$;
• ma $|f(x_n) - \ell| \ge \varepsilon$ per ogni $n$, quindi $f(x_n)$ non tende a $\ell$.

Questo contraddice hp2 ∎.

Quale verso è "difficile". Il verso $(\Leftarrow)$ è quello delicato: dall'informazione su tutte le successioni si deve ricavare un $\delta$ per ogni $\varepsilon$. Il trucco è costruire, per assurdo, una successione "cattiva" scegliendo $\delta = \frac1n$.

Errori comuni

• Verificare il limite con una sola successione: per concludere che $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ servono tutte le successioni. Una sola successione basta solo per dimostrare che il limite non è $\ell$ (o non esiste).
• Dimenticare $x_n \ne x_0$: per la funzione $f(x) = 1$ per $x \ne 0$, $f(0) = 0$, la successione costante $x_n = 0$ darebbe $f(x_n) \to 0$, ma il limite in $0$ è $1$.